Lösung überprüfen und hilfe bei einer Teilaufgabe
Seien X und Y Mengen
a) Man zeige ℜ(X)∪ℜ(Y)⊆ℜ(X∪Y)
b)Man gebe Mengen X und Y an,für die ℜ(X)∪ℜ(Y)≠ℜ(X∪Y) gilt
c)Man zeige ℜ(X)∩ℜ(Y)=ℜ(X∩Y)
Ich habe Lösungen für a) und c):
a) zz.: ℜ(X)∪ℜ(Y)⊆ℜ(X∪Y)
für y∈ℜ(X)∪ℜ(Y) ist y∈ℜ(X) oder y∈ℜ(Y)
damit gibt es (mindestens) ein x∈X oder ein x∈Y mit ℜ(x)=y
damit gibt es (mindestens) ein x∈(x∪Y) mit ℜ(x)=y
⇒ ℜ(X)∪ℜ(Y)⊆ℜ(X∪Y)
c) Sei A=ℜ(X∩Y) und B=ℜ(X)∩ℜ(Y)
i) zz.: ℜ(X)∩ℜ(Y)⊆ℜ(X∩Y)
Sei nun y∈B , zz.: y∈A
wenn y∈B, dann gibt es ein x∈ℜ(X) und ein x∈ℜ(Y), damit ist y=ℜ(x) in ℜ(X)∩ℜ(Y), also in A
ii) zz.: ℜ(X∩Y)⊆ℜ(X)∩ℜ(Y)
Sei nun y∈A, zz.: y∈B
wenn y∈A, dann ist y Funktionswert eines x, wobei x sowohl in X als auch in Y liegt, damit ist y=ℜ(x) sowohl in ℜ(X) wie auch in ℜ(Y), also in B
aus i) und ii) ⇒ ℜ(X)∩ℜ(Y)=ℜ(X∩Y)
gehen die Lösungen so, oder hab ich irgendwo einen Fehler gemacht?? und kann mir jemand bei der b) helfen? da habe ich leider überhaupt keine Idee zur lösung. Danke
