Funktion auf Monotonie untersuche

Question

Aufgabe:

Untersuche die folgende Funktion f mithilfe der ersten Ableitung auf Monotonie :

f(x) = -x^2 + 3

Problem/Ansatz:

Was bedeutet auf Monotonie untersuchen und wie macht man das??

Also ich weiß schonmal, dass die Ableitung f'(x) = -2x sind...

Answer 1

f'(x) = -2x; f ''(x)= - 2: Das Maximum wird für x=0 erreicht. Für x<0 steigt der Graph streng monoton. Für x>0 fällt der Graph streng monoton.

Comments

Aber wie ist das zu erklären? Z.B. x<0 ?? Das verstehe ich nicht ganz...

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Z.B. x<0 bedeuted x ist negativ. Dann ist f '(x) positiv, also auch die Steigung positiv.

Answer 2

f(x) = -x^2 + 3

Als Monotonie wird das Steigungsverhalten einer
Funktion bezeichnet
1.Ableitung Steigungsverlauf
f ´( x ) = -2x

Fallend : Steigung negativ
f ´ ( x ) < 0
-2x < 0 | : -2
x > 0
Von 0 bis ∞ ist der Graph fallend

Steigend : Steigung positiv
f ´ ( x ) > 0
-2x > 0 | : -2
x < 0
Von -∞ bis 0 ist der Graph steigend

Stelle mit waagerechter Tangente bei
f ´ ( x ) = 0
-2x = 0
x = 0

Zuerst steigend dann fallend
Der Punkt ist ein Hochpunkt.

Answer 3

Sieh dir einmal den Funktionsgraphen an.

https://www.desmos.com/calculator/hac3lahxbx

Du siehst, dass die Kurve für x<0 steigt und für x>0 fällt. (Dabei muss man von links nach rechts gehen.)

Bei einer Funktion sagt man aber nicht einfach, dass sie steigt bzw. fällt, sondern dass sie "monoton steigt" bzw. "monoton fällt".

Der Punkt, an dem sich das Steigungsverhalten ändert, ist hier der Punkt E(0|3), nämlich das Maximum, das auch Hochpunkt genannt wird. Also muss zunächst das Maximum mit f'(x)=0 bestimmt werden.

Dann musst du rechnerisch untersuchen, ob in dem jeweiligen Bereich die Kurve steigt (ich meine natürlich "monoton steigt") oder fällt. Da die Steigung einer Kurve in einem Punkt die erste Ableitung an dieser Stelle ist, musst du gucken, ob f'(x)>0 (Kurve steigt) oder f'(x)<0 (Kurve fällt) ist.