Taylorpolynom der Ordnung 4 von tan x

Question

,

ich habe Probleme den tan x so wie in der Musterlösung abzuleiten.

Das ganze ist Teil der Taylorpolynomsuche vierter Ordnung von tan(x)

Kann mir jemand weiterhelfen?

Aufgabe:

Leite

$$f(x)=tan(x)$$

wie folgt ab:

$$f'(x)=1+tan^2(x)$$

$$f''(x)=2tan(x)+2tan^3(x)$$

Undsoweiter.

Könnt ihr mir bitte erklären wie man darauf kommt?

Ich kenne eigentlich nur 1/cos^2(x) als ableitung von tan(x)

Answer 1

Hallo,

Ich kenne eigentlich nur 1/cos2(x) als ableitung von tan(x)

Das ist dasselbe:

1/cos^2(x) =(sin^2(x) +cos^2(x))/cos^2(x)

=sin^2(x)/cos^2(x) +cos^2(x)/cos^2(x)

=tan^2(x) + 1

Letztere Form finde ich einfacher, da man keine Brüche mehr hat.

Comments

Bis dahin verstehe ich es.

Aber wie würde man dann auf die zweite Ableitung kommen?

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Man leitet die erste Ableitung nochmal ab.

Verwende die Kettenregel oder die Produktregel.

Answer 2

Hallo,

\( \begin{aligned} 1+\tan ^{2}(x) &=? \\ \tan (x) &=\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \\ \tan ^{2}(x) &=\frac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)} \\ \Rightarrow &=1+\frac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)} \\ &=\frac{\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}=\frac{1}{\cos ^{2}(x)} \end{aligned} \)