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a) Für ein lineares Ausgleichsproblem mit den Daten $$\begin{array}{c|cccc}{i} & {1} & {2} & {3} & {4} \\ \hline t_{i} & {0} & {1} & {4} & {9} \\ \hline y_{i} & {-2} & {3} & {0.5} & {2}\end{array}$$ soll der Ansatz $$y(t)=x_{1} t^{2}+3 x_{2} \sqrt{|t|}-x_{3}$$ verwendet werden. i) Wie sind die linear unabhängigen Ansatzfunktionen zu wählen? Geben Sie diese explizit an. ii)Geben Sie die für das zugehörige Ausgleichsproblem min $$_{x \in \mathbb{R}^{3}}\|A x-b\|_{2}^{2}$$ notwendige Matrix A explizit an.



Weiß jetzt nicht wie ich dort vorgehen muss, für I) soll ich die Funktionswerte also  jedes x bestimmen?


$$y(0) =x_{1} 0^{2}+3 x_{2} \sqrt{|0|}-x_{3} = -2$$

$$\implies x_{3} = -2$$

$$y(1) =x_{1} 1^{2}+3 x_{2} \sqrt{|1|}-x_{3} =3$$

$$y(4) =x_{1} 4^{2}+3 x_{2} \sqrt{|4|}-x_{3} = 0.5$$

$$y(9) =x_{1} 9^{2}+3 x_{2} \sqrt{|9|}-x_{3} = 2$$


Für ii) habe ich nur den Ansatz eine Matrix zu erstellen die in der 1. Spalte vier 1 aufweist, ist dies soweit korrekt?

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Aloha :)

Zur Bestimmung der linearen Funktionen, musst du die \(t_i\)-Werte einsetzen:

$$\begin{array}{c}y(0)&=& & & &-&x_3&\stackrel{!}{=}&-2\\y(1)&=&x_1 &+& 3x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&3\\y(2)&=&16x_1 &+& 6x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&\frac{1}{2}\\y(4)&=&81x_1 &+& 9x_2 &-&x_3&\stackrel{!}{=}&2\end{array}$$Daran kannst du nun alle gesuchten Leute ablesen:

$$A=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & -1\\1 & 3 & -1\\16 & 6 & -1\\81 & 9 & -1\end{array}\right)\quad;\quad\vec b=\left(\begin{array}{c}-2\\3\\\frac{1}{2}\\2\end{array}\right)$$

Das Ausgleichsproblem ist dann:

$$A^TA=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 16 & 81\\0 & 3 & 6 & 9\\-1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0 & -1\\1 & 3 & -1\\16 & 6 & -1\\81 & 9 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6818 & 828 & -98\\828 & 126 & -18\\-98 & -18 & 4\end{array}\right)$$$$A^T\vec b=\left(\begin{array}{c}0 & 1 & 16 & 81\\0 & 3 & 6 & 9\\-1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}-2\\3\\\frac{1}{2}\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}173\\30\\-\frac{7}{2}\end{array}\right)$$$$\vec x=\left(A^TA\right)^{-1}\left(A^T\vec b\right)=\left(\begin{array}{r}-0,0324\\0,5955\\1,0104\end{array}\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Wo hat man dort nun die Norm benutzt? Und wie kommt man dararuf diese Matrix-Gleichungen zu benutzen?

Das ist die sog. "Normalengleichung." Dazu habe ich vor kurzem eine Antwort geschrieben, in der das detailliert erklärt ist.

https://www.mathelounge.de/689654/normalengleichung-losen-in-lineare-algebra-nach-ax-b

Vielleicht möchtest du dir das ja mal durchlesen...

Die angegebene Lösung minimiert die Norm und ist daher nach dem Verfahren der kleinsten Fehlerquadrate die "bestmögliche" Anpassung.

Frage dazu in wie fern stehen diese Gleichungen mit der transponierten von A multipliziert mit A usw im Zusammenhang mit dem angegeben r Vektor ?

Damit die Länge des r-Vektors minimal wird, muss er auf allen Spaltenvektoren der Matrix \(A\) senkrecht stehen. In \(A^T\) werden aus den Spaltenvektoren entsprechende Zeilenvektoren. Das heißt, der r-Vektor muss auf allen Zeilenvektoren von \(A^T\) senkrecht stehen. Daher muss gelten:$$A^T\cdot\vec r=\vec 0$$Und der r-Vektor ist ja gerade$$\vec r=A\cdot\vec x-\vec b$$Damit hast du dann die Normalengleichung:$$A^TA\cdot\vec x-A^T\cdot\vec b=\vec 0$$

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