Aufgabe:
Es sei \( A = \begin{pmatrix} 3 && 2&&0&&4 \\ 2&&4&&0&&3 \\ 1 &&2a&&3&&1 \\ 0&&1&&0&&a \end{pmatrix} \in \mathbb{F}_{5}^{4\times4}\). Bestimmen Sie alle \( a \in \mathbb{F}^{5},\) so dass A invertierter ist.
Ich habe A durch Zeilenumformung auf \( \begin{pmatrix} 1 && 0&&0&&0 \\ 0&&1&&0&&2 \\ 0 &&1+2a&&3&&3 \\ 0&&0&&0&&3+a \end{pmatrix} \overset{\text{2.Zeile}\cdot (4+3a)+\text{3.Zeile}}{\rightsquigarrow} \begin{pmatrix} 1 && 0&&0&&0 \\ 0&&1&&0&&2 \\ 0 &&0&&3&&1+a \\ 0&&0&&0&&3+a \end{pmatrix}\) gebracht. Reicht es dann zu sagen, dass A für \( 3 + a \neq 0, d.h. a \neq -3 \equiv 2 \) vollen Rang hat und damit für \( a \neq 2 \) invertierbar ist?
Den vorletzten Umformungsschritt habe ich noch dazugeschrieben, weil ich mir da nicht sicher bin, aber eigentlich ist doch \( 1 \cdot ( 4+ 3a) + (1 + 2a) = 5 + 5a = 0\), womit das passen sollte.
