Exponentialfunktionen Aufgaben nicht verstanden

Question

Hallo,

habe mehrere Probleme, kann aber meine Lehrerin nicht fragen, weil Sie krank ist. Sie hat uns mehrere Aufgaben gegeben (1 Monat im Voraus), von denen ich auch größtenteils vieles verstehe, aber einige Aufgaben verstehe ich leider nicht. Wäre echt nett, wenn mir jemand helfen könnte.

1. Problem: Wie man Funktionsgleichungen einem Graph zuordnen kann, das weiß ich schon. Aber nicht, wie man zu einem Graph einen Funktionsterm ermittelt.

Gegeben ist folgende Aufgabe:
a) Ermitteln Sie zu jedem Graph den Funktionsterm der Exponentialfunktionen.

b) Stellen Sie zu dem eingezeichneten Punkt A eine passende Exponentialgleichung auf, mit der Sie die x-Koordinate von A berechnen können. Geben Sie die Koordinaten von A an.

Graph: https://abload.de/img/1ieknx.jpg

2. Problem: Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen in P(x₀|f(x₀)).

a) f(x) = e^x; x₀ = 0 und f) f(x) = 2e^x - x²; x₀ = 2

Wenn jemand mir erklären könnte, wie ich das machen soll, dann könnte ich auch die Aufgaben zwischen a) und f) lösen.

3. Problem: (1) a) Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktion f mit f (x) = e^x - x.

b) Begründen Sie, warum f keine Wendestelle hat.

Hier muss ich sagen, dass ich schon bis zu einem gewissen Punkt arbeiten konnte, jedoch von dort aus nicht mehr weiterkomme: a) [Ich arbeite bei den Extremstellen immer nach dem Schema von Mathebibel, weil es in den Klausuren bisher immer ganz gut funktioniert hat: 1. Erste Abl. berechnen, 2. Nst. d. 1. Abl. berechnen, 3. Zweite Abl. berechnen, 4. Nst. d. 1. in die 2. Abl. einsetzen und 5. y - Koordinaten der HP/TP berechnen]

f (x) = e^x - x; f '(x) = e^x - 1; f ''(x) = e^x

f '(x) = 0

e^x - 1 = 0

e^x = 1 ; von hier aus komme ich nicht mehr weiter.

b) weil die 2. Ableitung keine Nullstellen hat.

(2) a) Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen f₁; f₂; f₃ und f₄ mit f₁(x) = e^x ; f₂ (x) = e^x + 1; f₃ (x) = -e^x und f₄(x) = e^{x - 2}

b) Beschreiben Sie, wie die Graphen von f₂; f₃ und f₄ aus dem Graphen der natürlichen Exponentialfunktion f₁ entstehen.

ACHTUNG: f₁ und f₂ konnte ich ohne TR zeichnen. Habe aber echt keinen blassen Schimmer, wie ich f₃ und f₄ ohne TR zeichnen soll.

Wäre echt nett, wenn jemand bitte mit Rechenweg erklären könnte, auch wenn diese "Aufgabe" etwas länger ist.

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Bräuchte noch Hilfe beim 3. Problem (und ggf. 2. Problem).

Answer 1

Eine Antwort zum 1. Problem: Zu einem beliebigen Funktionsgraphen kann man nicht einfach so ohne weiteres immer einen passenden Funktionsterm finden. Bei Aufgaben in Schulbüchern weiß man immer schon, dass die Funktion einen bestimmten Typ hat (linear, quadratisch, Potenzfunktion, Exponentialfunktion, allgemeine Sinusfunktion ...), und man kennt allgemeine Funktionsvorschriften, in denen noch Parameter vorkommen. Für Exponentialfunktionen ist eine mögliche Schreibweise f(x) = c * a^x, dabei muss a eine positive und von 1 verschiedene reelle Zahl sein und c darf nur nicht 0 sein. Wenn man nun konkrete Punkte des Graphen kennt, kann man deren Koordinaten in die allgemeine Vorschrift einsetzen und erhält Gleichungen mit den noch unbekannten Parametern. Das Gleichungssystem kann man dann normalerweise eindeutig lösen, daraus ergibt sich die konkrete Vorschrift. Für das Beispiel aus dem Bild soll man wohl die Koordinaten (0|4) und (1|2,5) ablesen - wobei das aber aus der Aufgabenstellung nicht eindeutig hervorgeht, aber das ist eher ein Fehler des Aufgabenstellers. Man erhält dann hier die beiden Gleichungen c * a⁰ = 4 und c * a¹ = 2,5 und daraus fast direkt c = 4 und a = 0,625. Also lautet eine Funktionsvorschrift f(x) = 4 * 0,625^x. Und das mit dem Punkt A ist dann wohl so gemeint: Lies die zweite Koordinate von A ab und berechne daraus die erste mit Hilfe des Funktionsterms. Dazu musst du "nur" die entstehende Gleichung lösen, das geht algebraisch mit dem Logarithmus.

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Möglicherweise sollst du auch (3|1) und nicht (1|2,5) ablesen. Das würde dann zu einer (minimal) anderen Lösung führen. Ich vermute zwar, dass das nicht gemeint ist (denn dann könnte man auch direkt A(1,5|2) ablesen). Aber was sich der Aufgabensteller dabei gedacht hat, kann ich nur raten.

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Konnte alles nachvollziehen und alle Aufgaben lösen. Nur zur Kontrolle (zu b)): A (1,5 / 2); f(x) = a^x

2 = a^1,5

1,59  = a

also:

f(x) = 1,59^x

Ist das so richtig?

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Ich glaube nicht, dass du alles nachvollzogen hast, denn so ist das nicht gemeint. Schau dir doch mal deinen Graphen mit dem GTR an. Der verläuft zwar durch A (näherungsweise), ist aber steigend (was auch wegen a > 1 klar ist). Und der in der Abbildung ist klar fallend. Dein Ansatz mit f(x) = a^x ist nicht allgemein genug. Du musst f(x) = c * a^x benutzen und zwei Punkte des Graphen ablesen. Und keiner davon darf A sein. Wenn du (0|4) abliest, führt dies zu der Gleichung c * a⁰  = 4, und wegen a⁰ =1 muss also c = 4 sein. Als zweiten Punkt schlage ich (1 | 2,5) vor. Das führt mit dem Ansatz und dem eingesetzten Wert von c zu der Gleichung 4 * a¹ = 2,5. Also a = 2,5/4 = 0,625. Also lautet die Funktionsgleichung f(x) = 4 * 0,625^x . Mit dem GTR siehst du, dass der Graph auch so aussieht wie der in der Abbildung. Die Koordinaten von A kannst du zwar näherungsweise ablesen, aber laut Aufgabe sollst du die erste Koordinate "berechnen". Das geht, wenn du eine Funktionsgleichung hast und die zweite Koordinate als bekannt voraussetzt. Du sollst also die Gleichung 4 * 0,625^x = 2 lösen, dies ist die "passende Exponentialgleichung". Nach Division durch 4 und Anwendung des Logarithmus erhältst du ca. 1,4748 als Lösung und damit als die zu bestimmende erste Koordinate von A.

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4 * 0,625^x = 2

Woher kommt diese 2??

Edit: Ok, nach dem ich genau hingeschaut habe und die Aufgabenstellung gelesen habe, bin ich mir ziemlich sicher, dass du den y-Wert genommen hast, um den x-Koordinate zu suchen. Wie es auch in der Aufgabenstellung steht.

Habe ich das so richtig verstanden?

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Ja, die 2 ist der y-Wert des Punktes A. Und zur Bestimmung der x-Koordinate muss man die Gleichung f (x) = 2 lösen.

Answer 2

2. Problem: a) f(x) = e^x; x₀ = 0 Dann ist der Berührpunkt B(0|1). In B ist die Steigung f '(0)=1. Tangentengleichung in Punkt-Steigungs-Form: 1=\( \frac{y-1}{x-0} \)

f) f(x) = 2e^x - x²; x₀ = 2 Dann ist der Berührpunkt B(2|2e²-4). In B ist die Steigung f '(2)=2e²-4. Tangentengleichung in Punkt-Steigungs-Form: 2e²-4=\( \frac{y-(2e^2-4)}{x-2} \) .  

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Hi, danke für deine Antwort. Leider kann ich deinen Rechenweg nicht nachvollziehen. Ich weiß jetzt nicht, wie du f'(0) berechnet hast und was du mit der Punkt-Steigungs-Form meinst. In der Aufgabe wird doch die Tangentensteigung gesucht, oder nicht?

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f '(0) berechne ich, indem ich f '(x) bilde und für x=0 setze. Das ist dann die Steigung an der Stelle x=0. Die Punkt-Steigungs-Form ist eine Geradengleichung für eine Gerade mit der Steigung m und durch einen Punkt P(x₀|y₀). Die Gerade hat dann die Gleichung m=\( \frac{y-y_0}{x-x_0} \). Wenn man will, kann man das noch nach y auflösen.

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Die Tangentenform lautet doch t(x) = m * x + b

t(x) und x sind ja gegeben und m hast du schon oben berechnet. Soll ich jetzt nach b auflösen und dann wars das mit der Aufgabe oder übersehe ich da etwas?

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Natürlich kannst du das auch mit m und Einsetzen des Punktes nach b auflösen. Dann kommt das Gleiche heraus.

Answer 3

2. Problem: Bestimmen Sie rechnerisch die Gleichung der Tangente an den Graphen in P(x0|f(x0)).
a) f(x) = e^{x}; x_{0} = 0 und
f) f(x) = 2e^{x} - x^{2}; x_{0 } = 2
Wenn jemand mir erklären könnte, wie ich das machen soll, dann könnte ich auch die Aufgaben zwischen a) und f) lösen.

Eine Gleichung der Tangente an den Graphen von \(f\) im Berührpunkt \(P\left(x_0\vert f\left(y_0\right)\right)\) bekommst du über $$y=f'\left(x_0\right)\cdot\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right).$$Das ist eigentlich nur die Punkt-Steigungsform einer Geradengleichung, angewendet auf die Bestimmung einer Tangentengleichung bei bekannter Berührstelle, an der die gegebene Funktion differenzierbar ist. Das ist hier jeweils gegeben und du musst eigentlich nur noch die benötigten Werte berechnen, in die Gleichung einsetzen und diese bei Bedarf vereinfachen.

Answer 4

~plot~ e^(x-2);e^x;e^x-x;e^x-1 ~plot~

$$e^x = 1 \rightarrow x=0 $$

in $$f(x)$$

$$f(0) = e^0-0=1 $$

$$\rightarrow$$ Extremstelle bei (0/1)

Da $$f'<0 $$für $$x<0$$ und $$f'>0$$ für $$x>0\rightarrow Min$$

zu b)

$$-e^x = (-1) * e^x$$

$$e^{x-2}= e^x : e^2$$

Zu 2f)

$$f(x) = e^x$$

$$x_{0}=0$$

$$f'(x) = e^x$$

Zuerst ermittelt man die Steigung des Graphen von f und der Tangente im Punkt x₀, indem man 0 in f' einsetzt.

$$f'(0) = e^0=1 \rightarrow m=1$$

f(x) und die Tangente haben einen gemeinsamen Punkt. Dieser ist genau dort, wo die Tangente den Graphen berührt.

Man ermittelt also den y-Wert für x=0.

$$f(0) = e^0=1 $$

Es handelt sich also um (0/1).

Diesen, und die Steigung m, setzt man in die Tangentengleichung y=m*x+t ein.

$$1=1*0+t$$

$$ \rightarrow t=1$$

$$ \rightarrow y=1*x+1$$

~plot~ e^x;{0|1};x+1 ~plot~