Umformung Catalan-Zahlen

Question

Aufgabe:

Zeige, dass \( \frac{1}{n+1} \)·\( \begin{pmatrix} 2n\\n \end{pmatrix} \)  ⇔ \( \frac{1}{2n+1} \)·\( \begin{pmatrix} 2n+1\\n \end{pmatrix} \)

Ich komme einfach nicht auf die exakten Umformungsschritte...

Comments

Das Zeichen ⇔ macht nur Sinn zwischen Aussagen oder Aussageformen aber nicht zwischen Termen.

Answer 1

Aloha :)

Da Binomialkoeffizienten \(\binom{n}{k}\) für \(n\ge k\) nie \(0\) werden, können wir zeigen, dass der Quotient \(=1\) ist ohne Gefahr zu laufen, dass wir durch \(0\) dividieren:$$\frac{\frac{1}{2n+1}\binom{2n+1}{n}}{\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}}=\frac{\frac{1}{2n+1}\frac{(2n+1)!}{n!\,(2n+1-n)!}}{\frac{1}{n+1}\frac{(2n)!}{n!\,(2n-n)!}}=\frac{\frac{1}{2n+1}\frac{(2n)!\,(2n+1)}{n!\,(n+1)!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)\,n!\,n!}}=\frac{\frac{(2n)!}{n!\,(n+1)!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!\,n!}}=1$$

Answer 2

Vermutlich ist die Gleichheit der Terme zu zeigen.

Forme die Binomialkoeffitienten um:

\( \frac{1}{n+1} \) ·\( \frac{(2n)!}{n!·(2n-n)!} \) =\( \frac{1}{2n+1} \) ·\( \frac{(2n+1)!}{n!·(2n+1-n)!} \) . Dies kann über Termumformungen und Interpretation des ! gezeigt werden.

Comments

Tipp:

Verwende

(2n-n)!=n!

(n+1)*(n!)=(n+1)!

(2n+1)!/(2n+1)=(2n)!