Parabel 3. Ordnung allgemein:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
Wir setzen die gegebenen Informationen ein.
Sie geht durch den Ursprung:
f(0) = 0 = d
Sie verläuft durch P(-2|4):
f(-2) = 4 = -8a + 4b - 2c + d
Dort hat sie einen Wendepunkt:
f'(x) = 3ax2 + 2bx + c
f''(x) = 6ax + 2b
f''(-2) = 0 = -12a + 2b
Die Wendetangente schneidet die x-Achse in O(4/0).
Die Wendetangente verläuft natürlich durch den Wendepunkt von f(x): P(-2|4), aber auch durch O.
Ihr Anstieg ist also (0-4)/(4-(-2)) = -4/6 = -2/3
Diesen Anstieg muss f(x) im Wendepunkt auch haben, also
f'(-2) = -2/3 = 12a - 4b + c
Daraus ergibt sich
a = -0,3333333333.... = -1/3
b = -2
c = -4,6666666666... = -42/9 = -14/3
d = 0
Die gesuchte Funktion lautet also:
f(x) = -1/3 * x3 -2 * x2 - 14/3 * x
Besten Gruß