0 Daumen
941 Aufrufe
Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in P(-2/4) einen
Wendepunkt. Die Wendetangente schneidet die x-Achse in O(4/0). Bestimme die Funktionsgleichung. Ausführlich wenn möglich BITTE!
Avatar von

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

 

Parabel 3. Ordnung allgemein:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Wir setzen die gegebenen Informationen ein.

 

Sie geht durch den Ursprung:

f(0) = 0 = d

 

Sie verläuft durch P(-2|4):

f(-2) = 4 = -8a + 4b - 2c + d

 

Dort hat sie einen Wendepunkt:

f'(x) = 3ax2 + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f''(-2) = 0 = -12a + 2b

 

Die Wendetangente schneidet die x-Achse in O(4/0).

Die Wendetangente verläuft natürlich durch den Wendepunkt von f(x): P(-2|4), aber auch durch O.

Ihr Anstieg ist also (0-4)/(4-(-2)) = -4/6 = -2/3

Diesen Anstieg muss f(x) im Wendepunkt auch haben, also

f'(-2) = -2/3 = 12a - 4b + c

 

Daraus ergibt sich

a = -0,3333333333.... = -1/3

b = -2

c = -4,6666666666... = -42/9 = -14/3

d = 0

 

Die gesuchte Funktion lautet also:

f(x) = -1/3 * x3 -2 * x2 - 14/3 * x

 

Besten Gruß

Avatar von 32 k
Könnten sie bitte ab diesem punkt
a = -0,3333333333.... = -1/3

b = -2

c = -4,6666666666... = -42/9 = -14/3

d = 0

genauer werden Danke

Bis dahin konnten Sie die Rechnung nachvollziehen?

 

Nun, wir haben ja gesagt, dass die allgemeine Darstellung einer Funktion 3. Ordnung so lautet:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Zu Anfang wussten wir natürlich nicht, welche Werte die Konsanten a, b, c und d haben.

Durch die Berechnungen haben wir aber diese Werte bestimmen können, und dann setzten wir in die Gleichung halt für a = -1/3, für b = -2, für c = -14/3 und für d = 0 ein:

f(x) = -1/3 * x3 - 2 * x2 - 14/3 * x + 0

Bis jetzt konnte ich alles nachvollziehen. Ich versteh nur nicht, wie Sie auf die Konstanten "a, b, c " gekommen sind. Haben sie das Additionsverfahren benutzt oder den Gauss Algorithmus?
Könnten Sie mir bitte diesen einen Schritt zeigen.


MfG
Es wäre freundlich wenn Sie mir diesen Schritt mit der Additionsverfahren zeigen würden .

MfG

Ich habe weder den Gauss-Algorithmus noch das Additionsverfahren benutzt, sondern die Mathe-App auf meinem Smartphone :-D

 

Aber man könnte es folgendermaßen berechnen:

 

Bei der ersten Gleichung kann ich das d weglassen, da d = 0

I. -8a + 4b - 2c = 4

II. -12a + 2b = 0

III. 12a - 4b + c = -2/3

 

II. + III.

- 2b + c = -2/3

 

I. * 1,5

IV. -12a + 6b -3c = 6

 

III. + IV.

2b - 2c = 16/3

 

Die beiden roten Gleichungen addiert ergibt

-c = 14/3

c = -14/3

 

Das eingesetzt in zum Beispiel die letzte rote Gleichung:

2b + 28/3 = 16/3

2b = 16/3 - 28/3 = -12/3 = -4

b = -2

 

Und das beides eingesetzt in Gleichung I.

-8a - 8 + 28/3 = 4

-8a = 12/3 + 24/3 - 28/3 = 8/3

8a = -8/3

a = -1/3

 

Besten Gruß

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community