Umkehrung der Kurvendiskussion

Question

Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung und hat in P(-2/4) einen
Wendepunkt. Die Wendetangente schneidet die x-Achse in O(4/0). Bestimme die Funktionsgleichung. Ausführlich wenn möglich BITTE!

Answer 1

 

Parabel 3. Ordnung allgemein:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Wir setzen die gegebenen Informationen ein.

 

Sie geht durch den Ursprung:

f(0) = 0 = d

 

Sie verläuft durch P(-2|4):

f(-2) = 4 = -8a + 4b - 2c + d

 

Dort hat sie einen Wendepunkt:

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

f''(-2) = 0 = -12a + 2b

 

Die Wendetangente schneidet die x-Achse in O(4/0).

Die Wendetangente verläuft natürlich durch den Wendepunkt von f(x): P(-2|4), aber auch durch O.

Ihr Anstieg ist also (0-4)/(4-(-2)) = -4/6 = -2/3

Diesen Anstieg muss f(x) im Wendepunkt auch haben, also

f'(-2) = -2/3 = 12a - 4b + c

 

Daraus ergibt sich

a = -0,3333333333.... = -1/3

b = -2

c = -4,6666666666... = -42/9 = -14/3

d = 0

 

Die gesuchte Funktion lautet also:

f(x) = -1/3 * x³ -2 * x² - 14/3 * x

 

Besten Gruß

Comments

Könnten sie bitte ab diesem punkt
a = -0,3333333333.... = -1/3

b = -2

c = -4,6666666666... = -42/9 = -14/3

d = 0

genauer werden Danke

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Bis dahin konnten Sie die Rechnung nachvollziehen?

 

Nun, wir haben ja gesagt, dass die allgemeine Darstellung einer Funktion 3. Ordnung so lautet:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Zu Anfang wussten wir natürlich nicht, welche Werte die Konsanten a, b, c und d haben.

Durch die Berechnungen haben wir aber diese Werte bestimmen können, und dann setzten wir in die Gleichung halt für a = -1/3, für b = -2, für c = -14/3 und für d = 0 ein:

f(x) = -1/3 * x³ - 2 * x² - 14/3 * x + 0

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Bis jetzt konnte ich alles nachvollziehen. Ich versteh nur nicht, wie Sie auf die Konstanten "a, b, c " gekommen sind. Haben sie das Additionsverfahren benutzt oder den Gauss Algorithmus?
Könnten Sie mir bitte diesen einen Schritt zeigen.


MfG

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Es wäre freundlich wenn Sie mir diesen Schritt mit der Additionsverfahren zeigen würden .

MfG

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Ich habe weder den Gauss-Algorithmus noch das Additionsverfahren benutzt, sondern die Mathe-App auf meinem Smartphone :-D

 

Aber man könnte es folgendermaßen berechnen:

 

Bei der ersten Gleichung kann ich das d weglassen, da d = 0

I. -8a + 4b - 2c = 4

II. -12a + 2b = 0

III. 12a - 4b + c = -2/3

 

II. + III.

- 2b + c = -2/3

 

I. * 1,5

IV. -12a + 6b -3c = 6

 

III. + IV.

2b - 2c = 16/3

 

Die beiden roten Gleichungen addiert ergibt

-c = 14/3

c = -14/3

 

Das eingesetzt in zum Beispiel die letzte rote Gleichung:

2b + 28/3 = 16/3

2b = 16/3 - 28/3 = -12/3 = -4

b = -2

 

Und das beides eingesetzt in Gleichung I.

-8a - 8 + 28/3 = 4

-8a = 12/3 + 24/3 - 28/3 = 8/3

8a = -8/3

a = -1/3

 

Besten Gruß