Aloha :)
$$f:[a,\infty)\to[1,\infty)\,,\,f(x)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1$$
Wir sollen \(a\) so bestimmten, dass \(f\) bijektiv ist. Wir prüfen zunächst die Injektivität. Eine Funktion heißt injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Daher nehmen wir an, ein Element der Zielmenge wird durch 2 verschiedene Argumente \(x_1,x_2\in[a,\infty)\) erreicht:$$f(x_1)=f(x_2)\;\;\Rightarrow\;\;(x_1-1)^2+1=(x_2-1)^2+1\;\;\Rightarrow\;\;(x_1-1)^2=(x_2-1)^2$$$$\Rightarrow\;\;(x_1-1)=\pm(x_2-1)\;\;\Rightarrow\;\;x_1=1\pm(x_2-1)\;\;\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l}x_1=1+x_2-1\\x_1=1-x_2+1\end{array}\right.$$$$\Rightarrow\;\;\left\{\begin{array}{l}x_1=x_2\\x_1+x_2=2\end{array}\right.$$Im ersten Fall folgt aus der Gleichheit der Bilder, \(f(x_1)=f(x_2)\), die Gleichheit der Argumente \(x_1=x_2\). Die Funktion ist dann injektiv, weil jedes Element der Zielmenge höchstens 1-mal erreicht wird. Unser Problem ist der zweite Fall. Wir müssen durch geschickte Wahl der Untergrenze \(a\) der Definitionsmenge verhindern, dass \(x_1+x_2=2\) gelten kann. Wenn wir fordern, dass alle \(x>1\) sind, müssen auch \(x_1\) und \(x_2\) größer als \(1\) sein und ihre Summe damit größer als \(2\). Der Problemfall tritt dann also nicht auf. Wir können sogar noch \(x\ge1\) zulassen. Dann könnte zwar \(x_1+x_2=2\) gelten, aber es wäre auch \(x_1=x_2=1\), was die Injektivität nicht stört. Damit die Funktion injektiv ist, muss also gelten:$$f:\,[1,\infty)\to[1,\infty)$$
Wir müssen noch prüfen, ob die Funktion auch surjektiv ist. Surjektivität bedeutet, dass jedes Element der Zielmenge mindestens 1-mal erreicht wird. Wir wählen dazu ein \(y\in[1,\infty)\) aus der Zielmenge und schauen, ob wir ein passendes \(x\in[1,\infty)\) aus der Definitionsmenge dazu finden:
$$y=(x-1)^2+1\;\;\Leftrightarrow\;\;y-1=(x-1)^2\;\;\Leftrightarrow\;\;\pm\sqrt{y-1}=x-1$$$$\Leftrightarrow\;\;x=1\pm\sqrt{y-1}$$Da \(y\ge1\) ist, exisitiert \(\sqrt{y-1}\), und da \(x\ge1\) ist, fällt die Lösung mit der negativen Wurzel weg. Wir haben also zu jedem Bild ein Argument gefunden, genauer gilt:$$y=(x-1)^2+1\quad\Leftrightarrow\quad x=1+\sqrt{y-1}$$Damit ist die Funktion auch surjektiv. Da die Funktion injektiv und surjektiv zugleich ist, ist sie auch bijektiv.
Die Umkehrfunktion haben wir bereits bei der Prüfung der Surjektivität gefunden:$$f^{-1}\,:\;[1,\infty)\to[1,\infty)\,,\;f^{-1}(x)=1+\sqrt{x-1}$$
