Oberflächenintegral mit zwei begrenzenden Flächen

Question

Liebe Community!

mich beschäftigt mal wieder eine Integralaufgabe:

Berechnen Sie das folgende Oberflächenintegral:

\(\int\limits_{δ}^{}\int\limits_{V}^{} BdA\) mit \(B = \begin{pmatrix} x+z^2\\x-y\\x^2 + z\end{pmatrix}\)

wobei das Volumen V durch die beiden Flächen \(x^2 + z^2 = 1 \) und \(x^2 + y^2 = 1 \) begrenz wird.

Ich habe bereits zweimal versucht, das Oberflächenintegral zu berechnen, dabei sind \(\frac{32}{3}\) bzw. \(\frac{64}{3}\) Flächeneinheiten rausgekommen, gefühlsmäßig erscheinen mir die Zahlen aber zu groß.

Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar! 

Comments

Ich würde da einfach mal den Integralsatz von Gauß draufwerfen, denn die Divergenz von B ist =1. Dann steht da

$$ \int_{\partial V} B \operatorname{dA} = \int_V 1 dV $$

d.h. du musst nur noch das Volumen von V berechnen. Versuch das mal.

Diese Objekte nennt man auch Steinmetz Körper, rauskommen sollte 16/3.

Answer 1

Aloha :)

Die beiden begrenzenden Flächen \(x^2+y^2=1\) und \(x^2+z^2=1\) sind 2 unendlich lange Zylinder mit dem Radius \(1\). Der erste Zylinder hat die \(z\)-Achse als Symmetrieachse, der zweite Zylinder die \(y\)-Achse. Die Oberfläche des Schnitts ist geschlossen, daher lässt sich der Integralsatz von Gauß anwenden. Dazu benötigen wir die Divergenz des Integranden:$$\text{div}\left(\begin{array}{c}x+z^2\\x-y\\x^2+z\end{array}\right)=\frac{\partial(x+z^2)}{\partial x}+\frac{\partial(x-y)}{\partial y}+\frac{\partial(x^2+z)}{\partial z}=1-1+1=1$$Anstatt über die Oberfläche integrieren wir über das Volumen der beiden Schnittzylinder. Aus den begrenzenden Flächen folgen die Integralgrenzen:$$|x|\le\sqrt{1-z^2}\quad;\quad |y|\le\sqrt{1-z^2}\quad;\quad|z|\le1$$Wir bauen alles zusammen:$$\int_{\partial V}\vec B\,d\vec A=\int_{V}\text{div}\,\vec B\,dV=\int_{V}dV=\int\limits_{-1}^1dz\int\limits_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}}dy\int\limits_{-\sqrt{1-z^2}}^{\sqrt{1-z^2}}dx$$$$\phantom{\int_{\partial V}\vec B\,d\vec A}=\int\limits_{-1}^1dz\left(2\sqrt{1-z^2}\right)^2=4\int\limits_{-1}^1dz(1-z^2)=4\left[z-\frac{z^3}{3}\right]_{-1}^1=\frac{16}{3}$$

Comments

Erneut vielen vielen Dank, lieber Tschakabumba! Du bist einfach der Hit! Habe beim "Zusammenbauen" einen Faktor hineinfantasiert.