Antwort mit KI erzeugt
Gegeben:
Die Menge \( \mathbb{R}_k[x] \) ist die Menge aller Polynome vom Grad höchstens \( k \) mit reellen Koeffizienten. Zum Beispiel:
\( p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k \)
Ziel:
Wir müssen nachweisen, dass die Menge \( \mathbb{R}_k[x] \) einen reellen Vektorraum bildet. Dazu überprüfen wir die Vektorraumaxiome.
Axiom 1: Abgeschlossenheit der Addition
Für zwei Polynome \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \) und \( q(x) = b_0 + b_1 x + \dots + b_k x^k \) in \( \mathbb{R}_k[x] \), ist \( p(x) + q(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + \dots + (a_k + b_k) x^k \) ebenfalls ein Polynom in \( \mathbb{R}_k[x] \). Die Koeffizienten sind durch Addition reeller Zahlen entstanden und liegen somit auch in \( \mathbb{R} \).
Axiom 2: Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation
Für ein Polynom \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \) in \( \mathbb{R}_k[x] \) und einen Skalar \( c \in \mathbb{R} \) ist \( c \cdot p(x) = c \cdot a_0 + (c \cdot a_1) x + \dots + (c \cdot a_k) x^k \) ebenfalls ein Polynom in \( \mathbb{R}_k[x] \). Die Koeffizienten sind durch Multiplikation reeller Zahlen entstanden und liegen somit auch in \( \mathbb{R} \).
Axiom 3: Assoziativität der Addition
Für alle \( p(x), q(x), r(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)) \)
Dies folgt direkt aus der Rechenregel der Assoziativität der Addition der reellen Zahlen.
Axiom 4: Kommutativität der Addition
Für alle \( p(x), q(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( p(x) + q(x) = q(x) + p(x) \)
Dies folgt direkt aus der Rechenregel der Kommutativität der Addition der reellen Zahlen.
Axiom 5: Existenz eines neutralen Elements
Das Polynom \( 0(x) = 0 + 0x + \dots + 0x^k \) ist das neutrale Element bezüglich der Addition, da für jedes Polynom \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( p(x) + 0(x) = p(x) \)
Axiom 6: Existenz von inversen Elementen
Für jedes Polynom \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \in \mathbb{R}_k[x] \) existiert ein Polynom \( -p(x) = -a_0 - a_1 x - \dots - a_k x^k \), so dass \( p(x) + (-p(x)) = 0(x) \).
Axiom 7: Distributivität der Skalarmultiplikation über die Vektoraddition
Für alle \( c \in \mathbb{R} \) und \( p(x), q(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( c \cdot (p(x) + q(x)) = c \cdot p(x) + c \cdot q(x) \)
Dies folgt aus der Distributivität der Multiplikation über die Addition in \(\mathbb{R}\).
Axiom 8: Distributivität der Skalarmultiplikation über die Skalaraddition
Für alle \( c, d \in \mathbb{R} \) und \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( (c + d) \cdot p(x) = c \cdot p(x) + d \cdot p(x) \)
Dies folgt aus der Distributivität der Multiplikation über die Addition in \(\mathbb{R}\).
Axiom 9: Assoziativität der Skalarmultiplikation
Für alle \( c, d \in \mathbb{R} \) und \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( c \cdot (d \cdot p(x)) = (c \cdot d) \cdot p(x) \)
Dies folgt aus der Assoziativität der Multiplikation in \(\mathbb{R}\).
Axiom 10: Existenz eines neutralen Skalars
Für \( 1 \in \mathbb{R} \) und jedes \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( 1 \cdot p(x) = p(x) \)
Damit sind alle Vektorraumaxiome überprüft und es ist nachgewiesen, dass \( \mathbb{R}_k[x] \) für jedes fest vorgegebene nichtnegative \( k \) einen reellen Vektorraum bildet.
