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Aufgabe:

Man addiert zwei Polynome, indem man die Koeffizienten zu jeweils gleichen Potenzen von \( x \) addiert. Für \( p=x^{3}+2 x^{2}+3=1 x^{3}+2 x^{2}+0 x^{1}+3 x^{0} \) und \( q=6 x^{2}-5 x-2=0 x^{3}+6 x^{2}-5 x^{1}-2 x^{0} \) ergibt sich beispielsweise \( \mathrm{p}+\mathrm{q}=(1+0) \mathrm{x}^{3}+(2+6) \mathrm{x}^{2}+(0-5) \mathrm{x}^{1}+(3-2) \mathrm{x}^{0}=\mathrm{x}^{3}+8 \mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+1 \). Man multipliziert ein Polynom mit einer reellen Zahl, indem man alle seine Koeffizienten mit dieser Zahl multipliziert.

Weisen Sie nach, dass die Menge \( \mathbf{R}_{\mathrm{k}}[\mathrm{x}] \) für jedes fest vorgegebene nichtnegative k einen reellen Vektorraum bildet. Prüfen Sie dazu explizit die Vektorraumaxiome nach. Dafür dürfen Sie sich nicht auf ein Beispiel verlassen, sondern Sie müssen sicherstellen, dass Ihre Argumentation für beliebige Polynome aus \( \mathrm{R}_{\mathrm{k}}[\mathrm{x}] \) funktioniert.

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Gegeben:

Die Menge \( \mathbb{R}_k[x] \) ist die Menge aller Polynome vom Grad höchstens \( k \) mit reellen Koeffizienten. Zum Beispiel:
\( p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_k x^k \)

Ziel:

Wir müssen nachweisen, dass die Menge \( \mathbb{R}_k[x] \) einen reellen Vektorraum bildet. Dazu überprüfen wir die Vektorraumaxiome.

Axiom 1: Abgeschlossenheit der Addition

Für zwei Polynome \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \) und \( q(x) = b_0 + b_1 x + \dots + b_k x^k \) in \( \mathbb{R}_k[x] \), ist \( p(x) + q(x) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + \dots + (a_k + b_k) x^k \) ebenfalls ein Polynom in \( \mathbb{R}_k[x] \). Die Koeffizienten sind durch Addition reeller Zahlen entstanden und liegen somit auch in \( \mathbb{R} \).

Axiom 2: Abgeschlossenheit der Skalarmultiplikation

Für ein Polynom \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \) in \( \mathbb{R}_k[x] \) und einen Skalar \( c \in \mathbb{R} \) ist \( c \cdot p(x) = c \cdot a_0 + (c \cdot a_1) x + \dots + (c \cdot a_k) x^k \) ebenfalls ein Polynom in \( \mathbb{R}_k[x] \). Die Koeffizienten sind durch Multiplikation reeller Zahlen entstanden und liegen somit auch in \( \mathbb{R} \).

Axiom 3: Assoziativität der Addition

Für alle \( p(x), q(x), r(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( (p(x) + q(x)) + r(x) = p(x) + (q(x) + r(x)) \)
Dies folgt direkt aus der Rechenregel der Assoziativität der Addition der reellen Zahlen.

Axiom 4: Kommutativität der Addition

Für alle \( p(x), q(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( p(x) + q(x) = q(x) + p(x) \)
Dies folgt direkt aus der Rechenregel der Kommutativität der Addition der reellen Zahlen.

Axiom 5: Existenz eines neutralen Elements

Das Polynom \( 0(x) = 0 + 0x + \dots + 0x^k \) ist das neutrale Element bezüglich der Addition, da für jedes Polynom \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( p(x) + 0(x) = p(x) \)

Axiom 6: Existenz von inversen Elementen

Für jedes Polynom \( p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_k x^k \in \mathbb{R}_k[x] \) existiert ein Polynom \( -p(x) = -a_0 - a_1 x - \dots - a_k x^k \), so dass \( p(x) + (-p(x)) = 0(x) \).

Axiom 7: Distributivität der Skalarmultiplikation über die Vektoraddition

Für alle \( c \in \mathbb{R} \) und \( p(x), q(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( c \cdot (p(x) + q(x)) = c \cdot p(x) + c \cdot q(x) \)
Dies folgt aus der Distributivität der Multiplikation über die Addition in \(\mathbb{R}\).

Axiom 8: Distributivität der Skalarmultiplikation über die Skalaraddition

Für alle \( c, d \in \mathbb{R} \) und \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( (c + d) \cdot p(x) = c \cdot p(x) + d \cdot p(x) \)
Dies folgt aus der Distributivität der Multiplikation über die Addition in \(\mathbb{R}\).

Axiom 9: Assoziativität der Skalarmultiplikation

Für alle \( c, d \in \mathbb{R} \) und \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( c \cdot (d \cdot p(x)) = (c \cdot d) \cdot p(x) \)
Dies folgt aus der Assoziativität der Multiplikation in \(\mathbb{R}\).

Axiom 10: Existenz eines neutralen Skalars

Für \( 1 \in \mathbb{R} \) und jedes \( p(x) \in \mathbb{R}_k[x] \) gilt:
\( 1 \cdot p(x) = p(x) \)

Damit sind alle Vektorraumaxiome überprüft und es ist nachgewiesen, dass \( \mathbb{R}_k[x] \) für jedes fest vorgegebene nichtnegative \( k \) einen reellen Vektorraum bildet.
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