Näherungsweise Bestimmung der Ableitung eine Funktion. Formel: [ f(x0+h) - f(x0) ] : h

Question

Sehr geehrtes Forum,

Bei uns in der Schule wurde heute das Thema "Ableiten einer Funktion" gestartet, jedoch konnte mein Mathe-Lehrer dieses überhaupt nicht erklären und hielt sich auch kaum an das Buch. Wie das Schicksal es so wollte gab es dann eine Hausaufgabe und die sah wie folgt aus:

" Bestimme näherungsweise die Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀=2 mithilfe des Differenzenquotienten für h->0.

a) f(x) = x⁴

b) f(x)=x³

c) f(x)= 4x - x²

_______________________

^"

Ich habe im Internet schon die Formel:

[  f(x₀+h) - f(x₀) ] ÷ h

gefunden, jedoch bin ich immer noch genauso schlau wie voher.

Ich hoffe, dass man mir hier weiterhelfen kann und ich anhand dieser Beispielaufgabe das näherungsweise Bestimmen einer Ableitung verstehen kann.

Answer 1

a)
f'(x) = [f(x₀+h) - f(x₀)]:h

wähle h klein, z.b. 1/1000, x₀ = 2
f'(2) = [f(2+1/1000) - f(2)] : 1/1000
f'(2) = [(2+1/1000)^4 - 2^4] : 1/1000
f'(2) ≈ 32,024008

der näherungswert der ableitung von x^4 an der stelle x0=2 ist ungefähr 32,024008

was ist der exakte wert?

f'(x) = 4*x^3
f'(2) = 4*2^3 = 32

wir haben also ganz gut angenähert.
wählen wir h noch kleiner, werden wir noch näher
an die exakte lösung heranrücken.

b) und c) überlasse ich dir.

gruß,
    gorgar
 

Comments

b) hab ich verstanden, aber c) ist immer stets schleierhaft. Kannst du mir helfen?

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betrachte f(x) als die summe von zwei funktionen

f(x) = g(x) + h(x)

g(x) = 4x

h(x) = -x²

verfahre mit g(x) und h(x) wie in a) und b) und summiere die ergebnisse.

f'(2) = [  g(x₀+h) - g(x₀) ] : h + [  h(x₀+h) - h(x₀) ] : h

okay?

Answer 2

a) f(x) = x4  f`(x) = 4x³

b) f(x)=x3  f`(x) = 3x²

c) f(x)= 4x - x2  f`(x) = 4-2x


Für  Ableitungen diesser Art gibt es ganz einfache Regeln.

f(x) = x^r    f`(x) = r*x^r-1

Damit sollte nichts mehr schief gehen :-)

Comments

Du meinst f(x) = x^r    f`(x) = r*x^ (r-1)

Vielleicht hast du noch Zeit zum bearbeiten (?)

Gemeint war allerdings eher, was gorgar vorgerechnet hat.