Zeigen, dass a_n Nullfolge ist

Question

 Gegeben sei eine reelle Zahlenfolge \( \left(b_{n}\right) \) mit \( 0<b_{n}<1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

a) Untersuchen Sie die Folge ( \( a_{n} \) ) von Produkten mit
$$ a_{n}=b_{1} \cdot b_{2} \cdots \cdots b_{n} \quad(n \in \mathbb{N}) $$
auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz.
b) Beweisen Sie: Hat \( \left(b_{n}\right) \) einen Grenzwert \( b<1 \), dann ist \( \left(a_{n}\right) \) eine Nullfolge.

Brauche nur Hilfe bei b

Answer 1

Zunächst gibt es eine Konstante \(0<c<1 \) sodass für alle \(n\in \mathbb{N}_{\geq 1} \) gilt, dass \( \frac{a_{n+1}}{a_n}=b_{n+1}\leq c <1\), da der Grenzwert von \( b_n\) gerade \(b<1 \) ist. Nun kann man per Induktion \(a_{n+1} \leq c^n\cdot a_1 \) zeigen.

Induktionsanfang: Folgt direkt aus der Voraussetzung \( \frac{a_{2}}{a_1}=b_{2} \quad \Rightarrow a_2=b_2\cdot a_1\leq c\cdot a_1\).

Induktionsvoraussetzung: \(\exists \ n\in \mathbb{N}_{\geq 1} \) mit \(a_{n+1} \leq c^n\cdot a_1 \).

Induktionsschritt: Es gilt also auch für n+1, d.h., \(a_{n+2} \leq c^{n+1}\cdot a_1 \).

Es ist \( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=b_{n+2}\quad \Rightarrow a_{n+2}=b_{n+2}\cdot a_{n+1} \leq c\cdot a_{n+1}\stackrel{(IV)}{\leq } c^{n+1}\cdot a_1 \). Nach a) ist \((a_n)\) durch 0 nach unten beschränkt, sodass mit dem vorangegangenem Induktionsbeweis \( \lim a_n=0\) folgt.

Comments

Nun kann man per Induktion an+1≤cn⋅a1 zeigen.

Das stimmt nicht, betrachte die Folge 
( 0.7,0.7,0.7,0.7,0.7,0.9 ........ )
Der Induktionsanfang liegt bei einem unbekanntem Startindex m.

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So eine Folge a_n ist hier nicht möglich, da sie doch (streng) monoton fällt. Das beruht auf der Tatsache, dass jeder Faktor in dieser Folger positiv und <1 ist. Also wird für zunehmendes n auch a_n kleiner.

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Ach stimmt ich, ich habe a_n und b_n vertauscht :).