Extremstellen und wie wende ich die Variablensubstitution aus dieser Funktion an: "f (x , y )=e^(3(x^2)-5xy-4x+3y+5)"

Question

Aufgabe:

Gegeben sei für alle Paare (x, y ), ∈ R×R die Funktion f mit der Gleichung
f (x , y )=e^(3(x^2)-5xy-4x+3y+5)
a) Bilden Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung.
b) Bestimmen Sie die möglichen Extremstellen (ohne Betrachtung der hinreichenden Bedingung)
c) Bei der Auswertung der hinreichenden Bedingung können prinzipiell vier mögliche Zustände des
Extrempunktes unterschieden werden. Erläutern Sie zwei davon.
d) Nun sei neben der Funktion f die Nebenbedingung y = 3x gegeben. Untersuchen Sie unter
Anwendung der Variablensubstitution die Funktion f auf mögliche Extremstellen (diesmal MIT
Betrachtung der hinreichenden Bedingung).

Problem/Ansatz:

Die 1. Ordnung habe ich mittlerweile Verstanden und konnte sie auch umsetzen.

Für die Extremstellen setzt man die 1. Ordnung von fx(x,y) = fy(x,y) gleich, aber weiter komme ich nicht.

1. Ordnung, wenn ich mich nicht verrechnet habe:

fx(x,y) =e^(3(x^2)-5xy-4x+3y+5) *(6x-5y-4)

fy(x,y) =e^(3(x^2)-5xy-4x+3y+5) *(-5x+3)

Könnt ihr mir helfen

LG Lucky123

Comments

Vielen lieben Dank an mathef und racine_carrée mit den Extremstellen habt ihr mir sehr gut geholfen, ich habe nun verstanden wie das geht.

Könnt ihr mir auch mit der Variablensubstitution helfen?

Ich weiß ich muss die Nebenbedingung einsetzen in die Gleichung:

f(x , y )=e^(3(x^2)-5xy-4x+3y+5)

Wenn ich nun die Nebenbedingung von y=3x habe setze ich sie in die Gleichung ein und erhalte:

f(x) =e^(3(x^2)-5x(3x)-4x+3(3x)+5)

f(x) =e^(3(x^2)-15(x^2)-4x+9x+5)

f(x) =e^(-12x^2+5x+5)

Dann müsste ich weiter nach x umstellen oder nicht?

Eine letze Frage zu dem Thema wäre:

Wenn die Nebenbedingung x=y ist? Wie rechne ich damit?

Answer 1

Für die Extremstellen setzt man die 1. Ordnung von fx(x,y) = fy(x,y) gleich,

NICHT GANZ: Man setzt beide gleich 0, also [ weil die e^(...) Terme nie 0 sind]

6x-5y-4=0   und   -5x+3=0

<=>   y =-0,08    und   x = 0,6

Comments

ok und das e ^(..) lässt man wie weg?

---

Du kannst es auch erst hinschreiben und dann den Satz vom

Nullprodukt anwenden, also

e^(....)=0   oder  6x-5y-4=0

Da das erste nie erfüllt ist, bleibt nur 6x-5y-4=0.

Answer 2

Hallo,

wenn \(f(x,y)=\exp(3x^2-5xy-4x+3y+5)\), dann ist der Gradient$$\text{grad} f = (f_x, f_y)^T=\begin{pmatrix} f(x,y)\cdot (6x-5y-4)\\f(x,y)\cdot (-5x+3) \end{pmatrix}\overset{!}=\begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}$$ Da \(f(x,y)>0\) für alle \((x,y)\in \mathbb{R}^2\) gilt, dass:$$\begin{cases} 6x-5y-4=0 \\  -5x+3=0\end{cases}  \Longleftrightarrow  \begin{cases} 6x-5y-4=0 \\  x=\frac{3}{5}\end{cases} \implies y=-\frac{2}{25}$$ Du hast also \((3/5, -2/25)\) als möglichen Extremwert.