f ist stetig und Grenzwert bekannt. Zeigen, dass f in x = 0 differenzierbar ist

Question

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) eine stetige Funktion.

a) Zeigen Sie: Falls \( f \) differenzierbar ist für \( x \neq 0 \) und der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=A \) existiert, dann ist \( f \) auch differenzierbar in \( x=0 \) mit \( f^{\prime}(0)=A \)

Answer 1

Sei d(x) der Differenzenquotient ( f(x) - f(0) ) / (x - 0). Es ist zu zeigen, dass der Grenzwert von d(x) für x gegen 0 existiert und gleich A ist. Sei dazu (x_n)_n eine beliebige Folge mit von 0 verschiedenen Werten, aber Grenzwert 0. Zu jedem x_n ist dann die Funktion f auf dem abgeschlossenen Intervall [0;x_n] bzw. [x_n;0] (für x_n < 0) stetig und auf dem offenen Intervall differenzierbar. Nach dem Mittelwertsatz der Differenzialrechnung gibt es ein a_n aus dem offenen Intervall, so dass d(x_n) = f ' (a_n). Da |a_n| < |x_n|, konvergiert auch die Folge der a_n gegen 0. Nach Voraussetzung konvergieren dann die f ' (a_n) gegen A, also auch die d(x_n).

Answer 2

Sei \(f\) differenzierbar für alle \(x ≠ 0\). Also exististiert der Differenzenquotient für solche \(x_0 \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \) in jedem Fall:

\(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f'(x_0) \quad\)

Wir interessieren uns folglich nun für den folgenden Differenzenquotienten an der Stelle \(\tilde{x_0} = 0\). Dazu betrachte:

\( \lim_{x_0 \to \tilde{x_0}} f'(x_0) = \lim_{x_0 \to 0} f'(x_0) = \lim_{x_0 \to 0}(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) = \lim_{x_0 \to 0} f'(x_0) = A\)

Der Grenzwert existiert aufgrund der Stetigkeit von \(f\) und nimmt nach Voraussetzung den Wert \(A\) an. \(\square\)

Comments

Okay, dass \( \lim_{x_0\to 0} f'(x_0) \) existiert ist klar, aber warum ist nun \( A = f'(0)\)? Stetigkeit von f' ist doch nicht vorausgesetzt.

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aber warum ist nun \( A = f'(0)\)? Stetigkeit von f' ist doch nicht vorausgesetzt.

Für f' wird die Definition mit Differentialkoeffizient verwendet und so umgeformt, dass nur noch die Voraussetzungen nötig sind. Siehst du das nicht?

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@TR Die Markierung wurde entfernt. Ich sehe immer noch keine Begründung für \(A=f'(0)\), sogar allein für die Existenz von \(f'(0)\).

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Habe nun der Frage von Mona einen "Daumen hoch" gegeben, damit sie etwas auffällt. Vielleicht schreibt dann ja noch jemand anders eine weitere Antwort.

Was genau verstehst du nicht? x_0 ist übrigens nicht dasselbe wie 0 und v.a. erst mal jede andere Stelle ungleich 0. 

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Wo genau wurde gezeigt, dass f'(0) existiert?

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Wo genau wurde gezeigt, dass f'(0) existiert?

In dem Teil, in dem im Grenzwert x_0 gegen x geht, sollte das gezeigt werden. Also hier sollte das stehen:

\( \lim_{x_0 \to \tilde{x_0}} f'(x_0) = \lim_{x_0 \to 0} f'(x_0) = \lim_{x_0 \to 0}(\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}) = \lim_{x_0 \to 0} f'(x_0) = A\)

Scheint mir aber auch etwas gar knapp.

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Nein, damit lässt sich der Grenzwert nur höchstens ausrechnen, das ist kein Beweis für Existenz. Genau so gut kann ich hinschreiben \( \lim_{n\to \infty} (-1)^n=\lim_{n\to \infty} (-1)^{2n}=1\), was total falsch ist.

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Vielleicht schreibt dann ja noch jemand anders eine weitere Antwort.

Der Antwortgeber sollte wohl seine Antwort zu einem Kommentar machen, damit die Frage wieder unter "Offene Fragen" erscheint.

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Im zitierten Teil wird beim geschachtelten Limes die innere Klammer in f ' (x_0) vereinfacht. Das ist ok, da f differenzierbar ist, für x_0 ≠ 0.

Nun ist noch zu begründen (anhand der Voraussetzungen), warum der Grenzwert

lim_(x_0 -> 0) f ' (x_0) existiert.

Vielleicht meldet sich auch mona nochmals. Ansonsten ist es nicht verboten eine weitere Antwort zu schreiben, auch wenn Maaarkus gerade Wochenende oder Ferien macht.

Warum genau ist z.B. https://www.mathelounge.de/412544/zeigen-sie-dass-f-x-stetig-aber-nicht-differenzierbar-ist kein Gegenbeispiel zur Behauptung in dieser Aufgabe?

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Natürlich ist meine Antwort rar formuliert, denn der Fragesteller sollte sich zu einem gewissen selbstanteil natürlich Gedanken machen.

Meine Idee war es zu nutzen, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt. Habe ich die Stetigkeit kann man leichter argumentieren warum der Grenzwert also das differenzial auch in 0 existent ist.