Wie kommt man hier auf den Koeffizienten 60?

Question

Schönen Abend.

Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme den Koeffizienten von x⁴y²z in (x+y+z)⁴*(x+y)³

Ich habe bereits herausgefunden (mithilfe eines GTR), dass der Koeffizient 60 ist, jedoch ist mir unklar, wie ich das berechnen kann.

Ansatz:

Ich habe bereits folgende Berechnung ausprobiert, jedoch ohne Erfolg:  \( \frac{7!}{4!*2!*1!} \) = 150...

Kann mir jemand helfen und erklären wie man auf die 60 kommt ?

:)

Answer 1

Aloha :)

Du multiplizierst insgesamt 7 geklammerte Summen miteinander:$$(x+y+z)^4\cdot(x+y)^3$$und erhältst dabei unter anderem den Term \(x^4y^2z\), dessen Koeffizient gesucht ist.

Nach dem Distributivgesetz wählst du dazu aus jeder Klammer genau eine Variable aus, erhältst so 7 Stück, die du miteinander multiplizierst. Es gibt 4 Klammern, die ein \(z\) enthalten. Also hast du \(\binom{4}{1}\) Möglichkeiten, genau ein \(z\) auszuwählen. Jetzt hast du noch 6 Klammern übrig. Aus 4 von denen musst du ein \(x\) auswählen. Dafür gibt es \(\binom{6}{4}\) Möglichkeiten. Schließlich sind noch 2 Klammern übrig, aus denen du jeweils ein \(y\) auswählen musst, dafür gibt es \(\binom{2}{2}\) Möglichkeiten. Daher lautet der Koeffizient vor dem Term \(x^4y^2z\):$$\binom{4}{1}\cdot\binom{6}{4}\cdot\binom{2}{2}=4\cdot15\cdot1=60$$

Comments

Aloha :D

Ach Vielen Dank, endlich hab ich es verstanden :)

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Für dich immer wieder gerne ;)

Manchmal hat man ein Brett vorm Kopf und kommt einfach nicht drauf... geht mir auch so.

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Gut, dass ich doch nicht die einzige bin :D