Wahrscheinlichkeitsberechnung bei verteilten Möglichkeiten, schwer

Question

Aufgabe:

Folgendes Problem: Wenn ich zum ersten Mal 3 rote Kugeln hintereinander ziehe wird die Ausgangswahrscheinlichkeit hoch 3 genommen. Wie berechne ich wann die nächsten 3 roten Kugeln hintereinander gezogen werden und welchem Verhältnis steht diese Wahrscheinlichkeit zu der Anfangswahrscheinlichkeit 3 rote Kugeln hintereinander zu ziehen. Neben Infos: Die Kugeln werden zurückgelegt, es gibt 35 Rote und 65 Schwarze. Ich brauche die Wahrscheinlichkeiten bei 100 Zügen. Vielen Dank, Ana

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist das man nicht einfach die Ausgangswahrscheinlichkeit hoch 6 nehmen kann, weil die jeweils 3 roten Kugeln nicht hintereinander gezogen werden müssen.

Comments

Hast du noch die Aufgabenstellung im Original, so wie sie dir vorliegt?

Ich denke es ist unüblich ein Wann ins Verhältnis zu einer Wahrscheinlichkeit zu setzen.

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Mir liegen verschiedene Informationen vor, die ich hier einfach zusammengefasst habe. Wenn man das wann weglässt, wie müsste man denn vorgehen um zu berechnen zu welcher Wahrscheinlichkeit nochmal drei rote hintereinander gezogen werden ?

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Mir liegen verschiedene Informationen vor, die ich hier einfach zusammengefasst habe.

Dabei gehen erfahrungsgemäß wichtige Informationen verloren.

Wie lautet der originale Aufgabentext?

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Bitte stell die Aufgabe tatsächlich exakt so wie sie dir vorliegt. Oder hast du dir die selber ausgedacht?

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Die originalen Informationen sind:

100 Züge

65 schwarze Kugeln

35 rote Kugeln

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Ersten bereits vorausgegangenen Zug mit 3 hintereinander folgenden 3 roten Kugeln, nach dem Zweiten vorkommen von 2 roten Kugeln noch eine Rote zu ziehen ?

Meine Überlegung: Das erste Mal 3 rote Kugeln hintereinander zu ziehen sind 0,35^3= 0,042875, also kommt es ca. 4 Mal vor das 3 rote hintereinander gezogen werden. Das direkt 6 gezogen werden sind 0,35^6, aber wie verändert sich das, wenn dazwischen schwarze Kugeln liegen ?

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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit bei einem Ersten bereits vorausgegangenen Zug mit 3 hintereinander folgenden 3 roten Kugeln, nach dem Zweiten vorkommen von 2 roten Kugeln noch eine Rote zu ziehen ?

Ich verstehe das so das du die Wahrscheinlichkeit berechnen sollst, dass nach dem Auftreten von 3 roten Kugel dahinter gleich noch eine 4. rote Kugel zu ziehen.

Da wäre die Wahrscheinlichkeit einfach 35/100 = 0.35.

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Nein ich muss berechnen, um wie viel die Wahrscheinlichkeit sich verringert nach dem ersten vorkommen von 3 hintereinander gezogenen roten Kugeln. Noch einmal 3 Rote zu ziehen. Es muss aber nicht direkt hintereinander sein.

Es muss sich ja verändern weil bereits 1 von ca. 4x die "dreier Kette" vorgekommen ist.

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit für 3 rote ist

(35/100)^3 = 0.35^3 = 0.042875

und das ist egal an welcher Stelle.

Man könnte in etwa damit Rechnen etwa alle

1/0.042875 = 23.32 Stellen auf 3 rote Kugeln zu treffen.

Comments

Vielen Dank, aber es geht darum direkt beim nächsten Mal 3 rote Kugeln zu ziehen, also sagen wir folgende Reihenfolge : S,R,S, R,R,R ,S,S,R,S, R,R und jetzt wieder eine Rote zu ziehen ? Müsste die Wahrscheinlichkeit, dann nicht verringert sein und nach Beispielsweise bereits 4 x 3 gezogenen roten Kugeln gegen 0 gehen ?

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Die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel ist egal an welcher Stelle immer 0.042875.

Die Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis. Es ist also egal wie oft davor bereits eine rote Kugel gefallen war oder nicht.

Die Wahrscheinlichkeit nach dem zufälligen Auftreten von 10 roten Kugeln hintereinander erneut eine rote Kugel zu ziehen ist also genau so groß als wenn davor 10 schwarze Kugeln gefallen wären.

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Wenn ich 100 Züge habe, dann ist dann ist das Verhältnis ca. 65 zu 35. Wenn man jetzt berechnet, wie oft von den 35 diese 2 mal hintereinander oder mehr vorkommen kommt man auf folgende Abstufung:

1. 35% beschreibt das vorkommen der Roten

2. 12.25% beschreibt das vorkommen der Roten ^2

3. 4,29% beschreibt das vorkommen der Roten ^3

4. 1,5% beschreibt das vorkommen der Roten ^4

....

die jeweiligen prozentualen Anteile beschreiben die Wahrscheinlichkeit nach dem jeweiligen vorherigen Mal noch einmal eine Rote zu ziehen und stehen auch für das vorkommen davor, also bedeuten die 4,29% min. 3 rote Kugeln zu ziehen nämlich nur den Anteil nachdem 2 noch eine Rote zu ziehen, daraus könnten aber noch mehr werden, wenn man also davon ausgeht das nach 50 Malen bereits 4x mehr als 2 Kugeln hintereinander gezogen werden ist die Wahrscheinlichkeit danach direkt wieder 4x mehr als 2 zu ziehen verringert, denn nach etlichen 1000 muss es ja zu einer Annäherung kommen oder nicht ?

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Wie gesagt die Wahrscheinlichkeit hat kein Gedächtnis. Weiterhin steht in deiner Aufgabe

"nach dem Zweiten vorkommen von 2 roten Kugeln"

Du weißt also das bereits gerade 2 rote Kugeln gezogen worden waren.

"noch eine Rote zu ziehen"

und du sollst danach jetzt nur noch eine rote Kugel ziehen.

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Naja die Wahrscheinlichkeit nach 10 Roten noch eine zu ziehen ist ja geringer als nach 1 Roten. Also muss es doch auch einen Unterschied geben, wenn bereits vorher eine der 4, dreier Ketten vorgekommen ist ?. Dafür muss die Wahrscheinlichkeit kein Gedächtnis haben. Auch wenn sie ein Gedächtnis bräuchte, um wie viel verringert sich dann die Wahrscheinlichkeit ??

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Naja die Wahrscheinlichkeit nach 10 Roten noch eine zu ziehen ist ja geringer als nach 1 Roten.

Und dort ist gerade dein Denkfehler. Es ist egal ob du weißt das gerade 10 rote Kugeln gezogen wurden oder ob du nur weißt das gerade nur eine rote Kugel gezogen wurde. Wenn wir jetzt erneut eine Kugel ziehen ist die Wahrscheinlichkeit für rot immer 0.35. Das ist ziehen mit Zurücklegen. Die Wahrscheinlichkeit für rot bleibt immer gleich egal wann du ziehst.

Die wahrscheinlichkeit ändert sich nur wenn du forderst das z.b. mehrere rote ab jetzt hintereinander gezogen werden. Aber alles was bis zu einem speziellen Zeitpunkt in der Vergangenheit passiert war spielt für die Wahrscheinlichkeit in der Zukunft keine Rolle.

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Um auf eine Lösung zu kommen habe ich 700 Runden eine Probe durchgeführt und ich hatte nie über 4x mehr als drei rote hintereinander. Also würde das ja bedeuten ich hatte 700 mal Glück oder aber meine Theorie stimmt und die Vor-Wahrscheinlichkeit nimmt Einfluss. Ich weiß halt nur nicht inwiefern und wie man das am besten berechnet .