Wurzelgleichung mit beiden Lösungen gesucht

Question

Aufgabe:

√(x+5) - √(2x+3)=1

Gesucht: Lösung mit Lösungsweg

Comments

quadriere beide Seiten (2.binom. Formel anwenden), zusammenfassen und erneut quadrieren.

Answer 1

Wurzeln auf verschiedene Seiten:

√(x+5)=√(2x+3)+1 quadrieren

x+5=2x+3+2√(2x+3)+1

-x+1=2√(2x+3) nochmal quadrieren

x²-2x+1=4(2x+3)

x²-2x+1=8x+12

x²-10x-11=0

x_1/2=5±√36

x₁=11 x₂=-1

Die Lösung x=11entfällt nach Probe.

Answer 2

Erst mal beide Seiten quadrieren, gemäß die Elemente des Euklid: Gleiches mit gleichem multipliziert gibt gleiches.

(√x+5 - √2x+3)² = 1²

2. Binomische Formel, durch das quadrieren fallen die Wurzeln weg, Potenzgesetze:

x+5 -2* √x+5 √2x+3 +2x+3 = 1

2*√(x+5)*(2x+3)   = -7 -3x

Wieder quadrieren um die Wurzel loszuwerden:

4* (x+5)*(2x+3)   = 49+42x+9x²

Jetzt mal auf der linken Seite fertig ausmultiplizieren. 

4* (2x²+13x+15) = 49+42x+9x²

Jetzt noch die Klammer mit 4 multiplizieren, dann alles auf eine Seite bringen und zum Schluss die quadratische Gleichung mit der p-q- Formel oder der Mitternachtsformel bzw. a-b-c- Formel lösen.

Wichtig: Nicht alle Lösungen, die da rauskommen können, müssen in der Definitionsmenge der Wurzelgleichung drin sein. 

Die endgültige Lösungsmenge ist natürlich nur die Schnittmenge. 

Ich hoffe ich konnte helfen und es ist hoffentlich fehlerfrei. Ansonsten einfach gerne melden.

P.S.: Welche Klasse ist diese Aufgabe und welches Bundesland.

Ich bin Bayern, 10. Klasse.

Viel Spaß bei Mathe euch allen!!!!

Answer 3

Hallo,

√(x+5) - √(2x+3)=1  | + √(2x+3)

√(x+5)   =1 + √(2x+3)  |(..)^2

x+5  =(1 + √(2x+3))^2

x+5  =  1 +2 √(2x+3) +2x+3

x+5  =  4+ 2 √(2x+3) +2x  | -2x -4

-x +1 = 2 √(2x+3) |(..)^2

(-x +1 )^2 =4(2x+3 )

x^2 -2x+1= 8x +12 |-8x -12

x^2 -10x -11=0 ->pq-Formel

x_1,2= 5± √(25 +11)

x_1,2= 5± 6

x₁= 11 ->keine Lösung ->Probe machen

x₂₌ -1 ist Lösung