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abakus · Answer 1 · 2020-02-18T18:07:19+0000

Es kam die Idee ob man denn nicht das < durch ein ≤ ersetzen kann...

Und was soll das bringen, dass man auch die Gleichheit zulässt?

Die Ungleichung soll schließlich FÜR ALLE positiven ε gelten.

Wenn du jetzt durch das Erlauben der Gleichheit einen zusätzlichen Wert gewinnst, für den die Ungleichung auch gilt: So what? Mit einer Verkleinerung von ε ist dieser zusätzlich gewonnene Wert schon wieder raus aus der Lösungsmenge der Ungleichung.

Letztendlich dürft ihr das zwar machen, aber es bringt keinerlei Gewinn.

Gast · Answer 2 · 2020-02-21T23:07:18+0000

Nein, das darfst Du nicht.

Wie meinst du das? In welchem Sinne genau ist was nicht erlaubt?

Lässt Du Werte auf dem Rand zu, bekommst Du riesige Probleme mit fast allen Sätzen und Beweisen, die auf Umgebungen basieren.

Hast du ein Beispiel?

Sei $X$ ein metrischer Raum mit Metrik $d$ und $x\in X$ ein Punkt darin.

Typischerweise verwendet man doch Umgebungen für "lokale" Eigenschaften der Art: "Für alle noch so kleinen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$", wobei $E$ eine Aussage(form) über Umgebungen von $x$ ist mit der Eigenschaft, dass sie schwerer zu erfüllen sind, je kleiner $U$ ist. Mit letzterem meine ich präzise: Für alle Umgebungen $U$ und $V$ von $x$ mit $U\subset V$ gilt die Implikation: Wenn $E(U)$ gilt, dann auch $E(V)$.

Unter dieser Annahme an E sind äquivalent:

a) Für alle Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

b) Für alle offenen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

c) Für alle abgeschlossenen Umgebungen $U$ von $x$ gilt: $E(U)$.

d) Für alle $\varepsilon>0$ gilt $E(\{y\in X\;|\;d(x,y)<\varepsilon\})$.

e) Für alle $\varepsilon>0$ gilt $E(\{y\in X\;|\;d(x,y)\le\varepsilon\})$.

Beispiel: Konvergenz einer Folge $(x_n)_n\in\mathbb{N}$ von Punkten aus $X$ gegen $x$ ist äquivalent zu a) bis e) mit

$$E(U):=\exists N\in\mathbb{N}\colon\forall n\ge N\colon x_n\in U\text{.}$$

Kommentiert 22 Feb 2020 von tobit

tobit · Answer 3 · 2020-02-22T11:03:39+0000

Sei $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ eine Folge reeller Zahlen und $a$ eine reelle Zahl. Dann sind äquivalent:

1. $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ konvergiert gegen $a$, d.h. für jedes $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|<\varepsilon$ für alle $n\ge N$.

2. Für jedes $\varepsilon>0$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|\le\varepsilon$ für alle $n\ge N$.

Beweis:

Gelte zunächst Bedingung 1. Um 2. nachzuweisen, sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Nach 1. Existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|<\varepsilon$ für alle $n\ge N$. Insbesondere gilt dann $|a_n-a|\le\varepsilon$ für alle $n\ge N$., Damit ist gezeigt, dass Bedingung 1. die Bedingung 2. impliziert.

Sei nun umgekehrt Bedingung 2. vorausgesetzt. Zum Nachweis von 1. sei $\varepsilon>0$ beliebig vorgegeben. Dann ist auch $\varepsilon':=\frac{\varepsilon}{2}>0$. Nach 2. angewandt auf existiert somit ein $N\in\mathbb{N}$ mit $|a_n-a|\le\varepsilon'$ für alle $n\ge N$. Somit gilt für alle $n\ge N$ die Ungleichungskette $|a_n-a|\le\varepsilon'=\frac{\varepsilon}{2}<\varepsilon$. Damit ist gezeigt, dass Bedingung 2. die Bedingung 1. impliziert.

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