Lineares Gleichungssystem finden, dessen homogene Lösungsmenge genau U ist

Question

Aufgabe: Sei \( U = \lbrace{\begin{pmatrix} r-2s\\2r+s\\-r+3s\\0 \end{pmatrix} | r,s \in \mathbb{Q} \rbrace} \) ein Unterraum vom Standardraum \( \mathbb{Q^4} \). Finden Sie ein lineares Gleichungssystem, dessen homogenen Lösungsmenge genau \( U \) ist.

Wie genau sieht der Ansatz bei dieser Aufgabe aus?

Ich suche ja eine Matrix \( A \in \mathbb{Q^{4\times4}} \), für die gilt \( A \cdot \begin{pmatrix} r-2s\\2r+s\\-r+3s\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0\\0\\0 \end{pmatrix} \), richtig? Aber wie gehe ich da vor?

Answer 1

U ist ein Untervektorraum von ℚ⁴, erzeugt von den Basisvektoren (1,2,-1,0)^T und (-2,1,3,0)^T. Wenn U die Lösungsmenge eines homogenen LGS sein soll, muss es sich um vier Variablen und (mindestens) zwei linear unabhängige Gleichungen handeln. Die Gleichungen haben die Form a*x₁ + b*x₂ + c*x₃ + d*x₄ = 0, und Einsetzen der Basivektoren muss jeweils 0 ergeben. Also a+2b-c+0d=0 und -2a+b+3c+0d=0. Zwei unabhängige Lösungen erhält man durch Setzen von c=1 und d=0 bzw. c=0 und d=1. Um Brüche zu vermeiden, kann man z.B. die erste Lösung mit 5 vervielfachen. Dann ergeben sich die beiden Gleichungen 7x₁-1x₂+5x₃+0x₄=0 und 0x₁+0x₂+0x₃+1x₄=0. Wenn man vier Gleichungen haben möchte, kann man zwei zusätzliche Gleichungen hinzufügen, die aber Linearkombinationen dieser beiden sein müssen.  

Answer 2

U beschreibt die Lösung eines LGS

\(\small \left\{ x1 = r - 2 \; s, x2 = 2 \; r + s, x3 = -r + 3 \; s, x4 = 0 \right\} \)

das würde durch eine Matrix A x = 0 wie

\(\small   \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&0&-1&2\\0&1&0&0&-2&-1\\0&0&1&0&1&-3\\0&0&0&1&0&0\\\end{array}\right) \vec{X}=0\)

dargestellt ...

Comments

Interessant, dass du die Lösung in einer Zeile hinschreibst. Die offizielle Lösung ist nämlich vier(!) Seiten lang. Aber Danke trotzdem :)

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Hm,

möglich, dass ich daneben liege, da ich ℚ⁴ überlesen habe. Dann ist die Aufgabenanforderung für ein Forum aber aweng unfair ;-) oder...

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Wie genau sieht der Ansatz bei dieser Aufgabe aus?

Ich wollte ja auch nur einen (möglicherweise alternativen) Ansatz ;-)

Aber bei wiederholtem Durchgehen der Musterlösung ist die Aufgabe mir schon etwas klarer.