Äquivalenzrelation zeigen

Question

Aufgabe:

Sei \( (G,\cdot) \) eine Gruppe. Zeigen Sie, dass

 \(g  \sim h: \Leftrightarrow \exists a \in G: h = a^{-1}ga \)

eine Äquivalenzrelation definiert.

Meine Rechnung:

\( \sim \) ist reflexiv, denn \( \forall x \in G: x \sim x\), da für a = x gilt: \( x = x^{-1}xx = ex = x \)

\( \sim \) ist symmetrisch, denn \( \forall x,y \in G: x \sim y \Rightarrow y \sim x\).

Gelte nämlich \( x \sim y \), d.h. \( \exists a \in G: y = a^{-1}xa  \\ \Rightarrow a^{-1}y = a^{-1}xa^{-1}a = a^{-1}x \\ \Rightarrow a^{-1}ya = a^{-1}ax = x\)

Bei der Transitivität komme ich leider nicht weit, da bräuchte ich mal einen Ansatz. Passt das bei reflexiv und symmetrisch so?

Answer 1

a⁻¹y = a^-1xa^-1a

Begründe, wie du anhand der Gruppenaxiome von der Gleichung

        y=a^-1xa

zu dieser Gleichung kommst!

Bei der Transitivität komme ich leider nicht weit

Sei g∼h und h∼k.

Sei a₁ derart, dass

(1)        h = a₁^-1 g  a₁

ist. Sei ferner a₂ derart, dass

(2)        k = a₂^-1 h a₂

ist.

Begründe, warum es solche a₁ und a₂ gibt. Forme dann (2) nach h um und setze in (1) ein. Forme die resultierende Gleichung nach k um.

Comments

Begründe, [...] zu dieser Gleichung kommst!

Oh, merke gerade selber, dass das so nicht geht. Ich habe ja einfach \( a^{-1} \) in die rechte Seite eingesetzt und auf der linken Seite von links verknüpft. Das darf ich so ja nicht. Aber wie geht es dann?

Forme dann (2) nach h um und setze in (1) ein. Forme die resultierende Gleichung nach k um.

bei (2) komme ich auf:

\( h = a_{2}ka_{2}^{-1} \)

eingesetzt in (1):

\( a_{2}ka_{2}^{-1} = a_{1}^{-1}ga_{1}  \) ... wie forme ich denn hier nach k um?

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Aber wie geht es dann?

Forme h = a^-1ga nach g um.

wie forme ich denn hier nach k um? 

Multipliziere von links mit a₂ ^-1 und von rechts mit a₂.

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Forme h = a^{-1}ga nach g um.

\( g = aha^{-1} \)... aber das passt doch nicht.

Multipliziere von links mit a2^{-1} und von rechts mit a2.

Ich komme dann auf 
\( k = a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}ga_{1}a_{2} \)
reicht das schon?

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ach, definier ich das dann einfach um?

also sei \( a := a_1a_2 \) Dann gilt:

\( k = a_{2}^{-1}a_{1}^{-1}ga_{1}a_{2} = (a_1a_2)^{-1}g(a_1a_2) = a^{-1}ga\)

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g = aha^-1 ... aber das passt doch nicht.

\(\begin{aligned} h & =a^{-1}ga &  & |\,\cdot a^{-1}\\ ha^{-1} & =a^{-1}gaa^{-1} &  & |\,\left(a^{-1}\right)^{-1}\cdot\\ \left(a^{-1}\right)^{-1}ha^{-1} & =\left(a^{-1}\right)^{-1}a^{-1}ga^{-1}\\ \left(a^{-1}\right)^{-1}ha^{-1} & =g \end{aligned}\)

Es gibt also ein Element der Gruppe, das man von rechts an h multipliziert und dessen Inverses man von links an h multipliziert um g zu erhalten. Dieses Gruppenelement ist a^-1. Das Inverse von a^-1 ist (a^-1)^-1. Wie du wahrscheinlich schon weißt, ist (a^-1)^-1 = a.

sei a:=a₁a₂

Dann gilt:

k=a₂^-1a₁^-1ga₁a₂=(a₁a₂)^-1g(a₁a₂)=a^-1ga

Jetzt reichts. Vorher nicht. Insbesondere der Zusammenhang

        (ab)^-1 = b^-1 a^-1

ist hier entscheidend, da ja die Gruppe nicht notwendigerweise kommutativ ist.

BTW wikipedia://Konjugation_(Gruppentheorie).