a) Berechnen sie die Lösungsmenge \( L \) des Linearen Gleichungssystems\( \left(\begin{array}{lll}{1} & {1} & {0} \\ {1} & {3} & {\lambda} \\ {2} & {1} & {1}\end{array}\right) \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{2} \\ {\mu} \\ {3}\end{array}\right) \)in Abhängigkeit von den Parametern \( \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)
b) Seien \( U_{1}=\operatorname{span}\{\vec{u}, \vec{v}\}, \quad U_{2}=\operatorname{span}\{\vec{w}, \vec{x}\}, \) wobei\[\vec{u}=\left(\begin{array}{l}{1} \\{0} \\{1} \\{0}\end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{l}{1} \\{2} \\{3} \\{3}\end{array}\right), \quad \vec{w}=\left(\begin{array}{l}{1} \\{1} \\{0} \\{0}\end{array}\right), \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{l}{-1} \\{-1} \\{-4} \\{-3}\end{array}\right)\]Bestimmen Sie eine Basis des Raumes \( U_{1} \cap U_{2} \) sowie des Raumes \( U_{1}+U_{2} \)
c) Es seien \( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{x} \) wie in Aufgabenteil b). Ist die Abbildung\[f: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, \quad(\alpha, \beta, \gamma, \delta)^{T} \mapsto \alpha \vec{u}+\beta \vec{v}+\gamma \vec{w}+\delta \vec{x}\]
(i) injektiv?
(ii) surjektiv? (Begründung!)
d) Seien \( V_{1} \) und \( V_{2} \) echte Unterräume des \( \mathbb{R}^{6}, \) also \( V_{1} \varsubsetneqq \mathbb{R}^{6}, V_{2} \varsubsetneqq \mathbb{R}^{6} \)Es sei \( \operatorname{dim}\left(V_{1} \cap V_{2}\right)=4 \) und \( \operatorname{dim}\left(V_{1}+V_{2}\right)=6 \)
Ist es wahr, dass dann immer \( \operatorname{dim}\left(V_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(V_{2}\right) \) gilt? Begründen Sie Ihre Antwort.
