Lineare Gleichungssysteme und Abbildungen

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Gegeben sind b1, b2 ∈ R und das lineare Gleichungssystem für x1, x2 ∈ R

2x1 + x2 = b1,
1x−x=b2

Das lineare Gleichungssystem ist äquivalent zu:

Ax=b mit den Vektoren x= \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \)  und b= \( \begin{pmatrix} b1\\b2 \end{pmatrix} \)

und einer geeignet gewählten 2x2-Matrix A. Die Abbildung x → Ax ist die Multiplikation von A mit dem Vektor x.

Fragestellung a.) Hat das lineare Gleichungssystem für jede Wahl von b1, b2 ∈ R eine Lösung?

                b.) Für welche Matrix A ist das Gleichungssystem oben äquivalent zu dem unterem?

Kann mir einer bitte weiterhelfen? Ich weiß nicht wirklich, wie ich anfangen soll.

Answer 1

Aloha :)

a) Wir prüfen, ob das LGS eine Lösung für jede Wahl von \(b_1,b_2\) hat.

$$\begin{array}{rrrl}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 1 & b_1 & +\text{Zeile 2}\\1 & -1 & b_2\\\hline3 & 0 & b_1+b_2 & :\,3\\1 & -1 & b_2\\\hline1 & 0 & (b_1+b_2)/3 & \\1 & -1 & b_2 & -\text{Zeile 1}\\\hline1 & 0 & (b_1+b_2)/3 & \\0 & -1 & b_2-(b_1+b_2)/3 & \cdot(-1)\\\hline1 & 0 & (b_1+b_2)/3 & \\0 & 1 & (b_1+b_2)/3-b_2 &\\\hline\end{array}$$Wir haben also folgende Lösung gefunden:$$x_1=\frac{b_1+b_2}{3}\quad;\quad x_2=\frac{b_1+b_2}{3}-b_2=\frac{b_1-2b_2}{3}$$Das LGS hat also für jede Wahl von \(b_1,b_2\) eine eindeutige Lösung.

b) Wir bestimmen die passende Matrix:

$$\begin{array}{r}2x_1+x_2=b_1\\x_1-x_2=b_2\end{array}\;\Leftrightarrow\;\binom{2}{1}x_1+\binom{1}{-1}x_2=\binom{b_1}{b_2}\;\Leftrightarrow\;\underbrace{\begin{pmatrix}2 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}}_{=A}\binom{x_1}{x_2}=\binom{b_1}{b_2}$$

Comments

Danke für deine Antwort!

mir ist nun leider aufgefallen, dassich mich vertippt habe:(  b2 sind nicht 1x-x , sondern \( \frac{1}{2} \) x-x.

Könnten du mir da bitte auch noch helfen?

:)