Bildliche Vorstellung einer Basis eines Vektorraums über dem Körper der reellen Zahlen

Question

Ich habe momentan noch ein kleines Verständnisproblem mit dem Définitionsbegriff einer Basis.

Eine Basis des ℝ sind die Einheitsvektoren.

Wenn ich es richtig verstanden habe, dann kann man mit der Linearkombination einer Basis eine Matrix darstellen, für die man die Basis bestimmt hat. Dies macht man indem man sich bildlich gesehen die einzelnen Vektoren der Basis mit einem Wert multipliziert nebeneinander gereiht als Matrix vorstellt, oder nicht?

Ich versuche mir momentan neben dem ganzen stupiden auswendig Lernen etwas bildlich vorzustellen.

Ich bin tierisch dankbar über jede Hilfe

Liebe Grüße

Comments

Was meinst du mit "legitim" und was mit R in der Überschrift?

Bitte spezifischere Überschrift.

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Meine Frage bezieht sich eher darauf, ob meine Definition von der Basis richtig ist. Da ich mir momentan dies zwar anwende, aber es mir nur schwer vorstellen kann

Answer 1

Aloha :)

Betrachte einen Vektor \((a|b|c)\). Die erste Komponente bedeutet, dass du die Entfernung \(a\) entlang des ersten Basisvektors des Vektorraums zurücklegst. Die zweite Komponente bedeutet, dass du die Entfernung \(b\) entlang des zweiten Basisbektors des Vektorraums zurücklegst. Und die dritte Komponente bedeutet, dass du die Entfernung \(c\) entlang des dritten Basisvektors des Vektorraums zurücklegst. Bei der kanonsichen Standardbasis \(B\) bedeutet das also:$$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right)\cdot a+\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\cdot b+\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right)\cdot c$$Dies kann man in einer Matrix zusammenfassen, indem man die Basisvektoren als Spalten in eine Matrix schreibt und die Achsenabschnitte \(a,b,c\) als Vektor:$$\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right)$$Wenn du eine andere Basis des Vektorraums hast, kannst du das genauso machen, zum Beispiel:$$\left(\begin{array}{c}2\\3\\1\end{array}\right)\cdot a'+\left(\begin{array}{c}0\\1\\1\end{array}\right)\cdot b'+\left(\begin{array}{c}1\\2\\0\end{array}\right)\cdot c'=\left(\begin{array}{c}2 & 0 & 1\\3 & 1 & 2\\1 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}a'\\b'\\c'\end{array}\right)$$Nimm einfach den Vektor und lege ihn transponiert über die Matrix, dann kann man sich das leicht merken:$$\left(\begin{array}{c}a' & b' & c'\\2 & 0 & 1\\3 & 1 & 2\\1 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}a'\\b'\\c'\end{array}\right)$$

Answer 2

Aha. Da meinst du sicher eine Basis von ℝ^n , n ∈ ℝ.

Eine Basis von ℝ wäre eine Basis von ℝ^{1}, also z.B. Basis B = { (1) }  oder Basis B = { (π) } oder Basis B = { (23) } und das ist nicht interessant. Oder?

EDIT: Habe aus deiner Überschrift jetzt Folgendes gemacht:

Bildliche Vorstellung einer Basis eines Vektorraums über dem Körper der reellen Zahlen

So " vorstellen", dass man es basteln könnte, kann man sich ja bloss die reellen Vektorräume ℝ^1,  ℝ^2 und  ℝ^3 und darin dann die Basen.