Rekonstruktionen von Funktion dritten Grades

Question

Aufgabe: Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat in P(1;6) eine Tangente, die parallel zur x-Achse verläuft, und in Q (0;4) einen Wendepunkt. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung

Problem/Ansatz:

Die normale Funktionsgleichung für Funktionen 3. Grades lautet ax^3+ bx^2 +cx +d, d ist dann 4

Ich hab das mit Gleichungssystem versucht aber irgendwie kommt da was falsches raus:

f(1)= 6; f1(1)=0; f2(0)=0; f(0)=4

Ich weiß da nicht mehr weiter

Answer 1

$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

$$f''(x)=6ax+2b$$

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$$f(1)= 6; f'(1)=0; f''(0)=0; f(0)=4$$

$$ f''(0)=0 \Rightarrow b=0 $$

$$ f(0)=4 \Rightarrow d=4 $$

$$ f(1)=6 \Rightarrow a+c+4=6 \Rightarrow a+c=2 $$

$$ f'(1)=0 \Rightarrow 3a+c=0 $$

$$a=-1 ; c=3 $$

$$ f(x)=-x^3+3x+4$$

Answer 2

Benutze zur Selbstkontrolle: http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm

Stimmen deine Gleichungen mit den angegebenen überein?

Comments

\(f''(0)=0\)

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Danke MontyPython für die Korrektur. Ich habe es geändert.

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Gerne. Wir wollen die Fragesteller ja nicht verzweifeln lassen.  :-)

Answer 3

Hallo,

Polynome dritten Grades sind symmetrisch zu ihrem Wendepunkt (hier bei \(x=0\)). Wenn also in \(P(1;\,6)\) eine Steigung mit dem Wert \(0\) vorhanden ist, so muss das bei \(x=-1\) ebenso sein. D.h. die erste Ableitung der Funktion hat zwei Nullstellen bei \(x=1\) und \(x=-1\). Daraus folgt unmittelbar $$f'(x) = a(x-1)(x+1) = a(x^2 - 1)$$mit einer noch unbekannten Konstanten \(a\). Das integriere ich zur Funktion \(f(x)\):$$\implies f(x) = \frac a3 x^3 - ax + c$$und da \(f(0)=4\) ist, folgt daraus \(c=4\).

Und für das \(a\) setzt man noch den Punkt \(P(1;\,6)\) ein, der ein Punkt der Funktion sein muss:$$\begin{aligned}f(1) = \frac a3  - a + 4 &= 6 \\ - \frac 23 a &= 2 \\ a &= -3\end{aligned}$$also ist die Funktion$$f(x) = -x^3 + 3x + 4$$

~plot~ -x^3+3x+4;{0|4};{1|6};[[-6|6|-2|7]] ~plot~

Gruß Werner