"Erzeugendensystem" erklären

Question

kann mir jemand erklären was ein erzeugendensystem konkret bedeutet? ich verstehe nur dass es irgendwie das minimale ist das man braucht und man prüft oft lineare unabhängigkiet

hat jemand eine verständl erklärung?

Answer 1

hi! :-)

\( v = 1 \) ist ein erzeugendensystem von \( \mathbb{R} \).
man kann mit \( x \cdot v \) jedes element von  \( \mathbb{R} \) erzeugen, indem
man ein \( x \in \mathbb{R} \) wählt.

\( v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, v_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \)
ist ein erzeugendensystem von \( \mathbb{R}^2 \).
man kann jedes element von \( \mathbb{R}^2 \)  mit  \( x \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + y\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} \)
erzeugen, indem man elemente \( x, y \in \mathbb{R} \) wählt.

usw.

so kann man für \( \mathbb{R}^3, \mathbb{R}^4 ... \mathbb{R}^n \)  weiterspinnen, also für vektorräume
beliebiger dimension.

ein erzeugendensystem muss nicht minimal sein.
wenn es minimal ist, dann ist es eine basis eines vektorraums.

Comments

kannst du auch erklären wie ich mit span umgehe?

hab so eine aufgabe mit span{v1,v2}):={0}

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⟨∅⟩ = {0}

:D

⇒ v1 = v2 = ∅

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_H%C3%BClle