Berechnen Sie die Matrix EMB(f).

Question

Betrachten wir die Basen B : b₁, b₂ und C : c₁, c₂ des R² gegeben durch

b₁ + b₂ = e₁ und b₂ − b₁ = e₂

c₁ = \( \begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix} \)

c₂ = \( \begin{pmatrix} 7\\2 \end{pmatrix} \)
,
sowie die lineare Abbildung f : R² → R² gegeben durch CME(f) = \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) wobei E die Standardbasis e₁, e₂ ist. Berechnen Sie die Matrix _EM_B(f).

Hallo Leute, könnte mir einer bei der folgenden Aufgabe bitte helfen? Ich habe hier mehrere solcher Matrizen gegeben. Daher wäre es super, wenn mir einer anhand des obigen Beispiels mal zeigen würde, wie das geht. Dann kann ich die anderen alleine versuchen.

Answer 1

Aloha :)

In der Aufgabenstellung sind die Koordinaten der Standardbasis \(E\) bezüglich der Basis \(B\) gegeben: $$e_1=b_1\cdot1+b_2\cdot1\quad;\quad e_2=b_1\cdot(-1)+b_2\cdot1$$Daher kennen wir die Übergangsmatrix von \(E\) nach \(B\):$${_B}id_E=\left(\begin{array}{c}1 & -1\\1&1\end{array}\right)$$Weiter sind uns die Basisvektoren von \(C\) bezüglich der Standardbasis \(E\) gegeben. Wir kennen daher Übergangsmatrix von \(C\) zur Standardbasis \(E\):$${_E}id_C=\left(\begin{array}{c}3 & 7\\1&2\end{array}\right)$$Schließlich ist da noch die Abbildungsmatrix:$${_C}M_E=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\1&-1\end{array}\right)$$Gesucht ist \({_E}M_B\), das wir uns aus den gegebenen Bausteinen wie folgt zusammenbauen können:

$${_E}M_B=\left({_B}M_E\right)^{-1}=\left({_B}id_E\cdot{_E}id_C\cdot{_C}M_E\right)^{-1}$$$$\phantom{{_E}M_B}=\left[\left(\begin{array}{c}1 & -1\\1&1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}3 & 7\\1&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\1&-1\end{array}\right)\right]^{-1}=\left[\left(\begin{array}{c}2 & 5\\4&9\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\1&-1\end{array}\right)\right]^{-1}$$$$\phantom{{_E}M_B}=\left(\begin{array}{c}7 & -5\\13&-9\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{c}-4,5 & 2,5\\-6,5&3,5\end{array}\right)$$

Comments

Super, du hast mir sehr geholfen. Mal eine Interessensfrage: was würde eigentlich passieren, wen man in die letzte Matrix für f nen Wert einsetzen würde?

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Die Argumente der Funktion \(f\) sind Vektoren. Diese Vektoren werden von rechts an die darstellende Matrix multipliziert, um den Funktionswert zu erhalten.

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Okay, super Danke. Könntest du mal hier schauen, ob das stimmt?

https://www.mathelounge.de/698723/bestimmen-sie-eine-basis-c-des-r3

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Da komme ich erst morgen wieder zu, muss jetzt Karneval feiern ;) Wenn dir meine Antworten helfen, freue ich mich über eine gute Bewertung.