Finden Sie eine Orthonormalbasis v1, v2, v3 des R3

Question

Sei A ∈ M₃ die Matrix A = \( \begin{pmatrix} 2 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 3\\ 3 & 3 & 7\end{pmatrix} \)

1.) Finden Sie eine Orthonormalbasis v1, v2, v3 des R³ mit A · v1 = 0 und A · v2 = v2
.

2.) Berechnen Sie aus Ihrer Basis die Hauptachsentransformation für A. Welche Diagonalmatrix entsteht?

Hallo Leute, die folgenden Aufgaben machen mir leider etwas bedenken. Könntet ihr mir hier helfen?

Answer 1

A · v1 = 0 und A · v2 = v2
heißt v1 aus Kern(A) und v2 ist ein Eigenvektor zum Eigenwert 1,

Die Vektoren im Kern werden erzeugt von v1=(1;-1;0) ^T

und die zum Eigenwert 1 durch v2=(-1 ; -1; 1)^T

orthogonal sind die beiden, und damit v3 zu beiden orthogonal

ist, muss gelten v1*v3=0 und v2*v3=0

Also v3 Vielfaches von (1;1;2)^T

Jetzt alle 3 normieren gibt

v1' = (1/√2;-1√2;0) ^T     v2'=(-1/√3 ; -1/√3 ; 1/√3 )^T

und v3' =   (1/√6;1/√6;2/√6)^T

fernig ist die gesuchte ON - Basis.