Partielle Integration anwenden mit Ansatz-Weg

Question

Aufgabe:

Integral (arccos(2x)

Problem/Ansatz:

Mein Vorgehen:

f(x) = x

f'(x) = 1

g(x) = arccos(2x)

g'(x) = -2/wurzel(1-4x^2)

= x * arccos(2x) - Integral(x * -2/wurzel(1-4x^2)

Jetzt kommt die partielle Integration:

x * -2/wurzel(1-4x^2) -> 2x * -1/wurzel(1-4x^2)

A(x) -1/wurzel(1-4x^2)  = arccos(x)

A'(x) = -1/wurzel(1-x^2)

Lösung: x * arccos(2x) - arccos(x)

Ich weiss nicht genau, wo ich den Fehler mache...

Answer 1

Jetzt kommt die partielle Integration:

x * -2/wurzel(1-4x2) -> 2x * -1/wurzel(1-4x2)

A(x) -1/wurzel(1-4x2)  = arccos(x)

A'(x) = -1/wurzel(1-x2)

keine Ahnung was da passiert. Für mich findet die partielle Integration im Schritt davor statt:

$$ \int \arccos(2x) ~\textrm{d}x = x \cdot \arccos{2x} + \int  \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}} ~\textrm{d}x $$

Jetzt substituiert man \( u = x^2 \), dann erhält man \( \frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} = 2x\) also \( \textrm{d}u = 2x \cdot \textrm{d}x \):

$$ \int \arccos(2x) ~\textrm{d}x = x \cdot \arccos{2x} + \int \frac{1}{\sqrt{1-4u}} ~\textrm{d}u $$

Das kann man jetzt einfach integrieren:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-4u}} ~\textrm{d}u = -\frac{1}{2} \sqrt{1-4u} +c $$

Insgesamt also

$$ \int \arccos(2x) ~\textrm{d}x = x \cdot \arccos{2x} -\frac{1}{2} \sqrt{1-4x^2} + c $$

Comments

du/ dx=2x -> Was heisst das? Und wieso substituiert man genau?

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du/ dx

Die Ableitung von \( u(x) = x^2 \) nach \( x \) ist \( u'(x) = 2x \). Eine andere Notation ist \(\frac{\textrm{d}u}{\textrm{d}x} = 2x \).

Und wieso substituiert man genau?

Weil das Integral dann sehr leicht lösbar ist.

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Bin irgednwie recht überfordert mit der Schreibweise von du/dx. dx ist ja der Integral nach x. und wir substituieren u = x^2. also ist u'(x) = 2x wieso ist u'(x) = du/dx ? müsste dann nicht immer zähler du/dx stehen? Irgendwie bereitet mir das sehr Mühe mit dem du/dx.. Hast du evt. irgendwie ne Theorie dazu? dx ist ja die einfache Integration, was ist dann du?

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das \( \textrm{d}u \) bzw. \( \textrm{d}x \) ist eine unendlich kleine Änderung von \( u \) bzw. \( x \).

Wenn du die Ableitung einer Funktion bestimmen willst, kannst du diese ja durch Sekanten annähern:

~plot~ x^2; {1|1}; {1.5|2.25}; 2.5x-1.5 ~plot~

Die Ableitung in  \( x=1 \) von \( f \) ist näherungsweise z.B.

$$ f'(1) \approx \frac{\Delta f}{\Delta x} := \frac{ f(1.5) - f(1) }{ 1.5 - 1 } $$

Wenn wir das \( \Delta x \) jetzt unendlich klein machen (Grenzwert gegen 0 bilden), dann wird auch das \( \Delta f \) unendlich klein (sofern die Funktion differenzierbar ist...) Man ersetzt dann zur Kenntlichmachung das man den Limes betrachtet das \( \Delta \) einfach durch ein \( \textrm{d} \).

$$ f'(1) = \left.\frac{ \textrm{d}f  }{\textrm{d}x} \right\vert_{x=1} $$

Beim Integral ist das so ähnlich. Du kannst das Integral ja durch eine Unter oder Obersumme Approximieren:

~plot~ sin(pi/6 * x);{0|0};{1|0};{2|0};{3|0};x=0;x=1;x=2;x=3;(x>1)*(x<2)*sin(pi/6);(x>2)*(x<3)*sin(pi/3); ~plot~

$$\begin{aligned} \int_0^3 \sin(\frac{\pi}{6} x) ~\textrm{d}x &\approx  \sin(0) \cdot \Delta x + \sin(\frac{\pi}{6}) \cdot \Delta x + \sin(\frac{\pi}{3}) \cdot \Delta x \\ &= \sum_{i=0}^{2} \sin(\frac{\pi}{6} \cdot i) \cdot\Delta x \end{aligned} $$

Das Integral ist der Grenzwert wenn wir \( \Delta x \) gegen 0 schicken (d.h. es wird unendlich klein) bzw. die Balken immer dünner machen.

Das alles ist natürlich ausschließlich zur Anschauung gedacht...

Answer 2

Hallo,

\( \int \arccos (2 x) d x=\int 1* \arccos (2 x) d x \)

\( u=x \)
\( v=\arccos (2 x) \)
\( u^{\prime}=1 \quad v^{\prime}=\frac{-2}{\sqrt{1-4 x^{2}}} \)
allgemein: \( \int u^{\prime} v d x=u \cdot v-\int u \cdot v^{\prime} d x \)

\( =x \cdot \arccos (2 x)-\int x \cdot \frac{(-2)}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x \)

\( =x \cdot \arccos (2 x)+2 \int \frac{x}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x \)
\( =x \cdot \arccos (2 x)+2\left(-\frac{1}{4} \sqrt{1-4 x^{2}}\right)+c \)
\( =x \cdot \arccos (2 x)-\frac{1}{2} \sqrt{1-4 x^{2}}+c \)

Comments

bis zum 3. letzten Schritt hab ichs raus, dann versteh ich nicht genau, was mit z = 1-4x^2 passiert.. Kannst du mir das erklären?

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\( z=1-4 x^{2} \)

\( \frac{d z}{d x}=-8 x \)
\( d x=\frac{d z}{-8 x} \)
\( \Rightarrow=2 \int \frac{x}{\sqrt{z}} \cdot \frac{d z}{-8 x} \)
\( =-\frac{1}{4} \int \frac{d z}{\sqrt{z}} \)

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Eventuell überlege ich zu viel, aber das mit dx und dz bereitet mir sehr viel Mühe. Was ist das dz genau, wie kann ich mir das vortellen? dx ist ja der Integral nach dx.. also alle Flächenstücke von x miteinander addiert.

Answer 3

Hallo

∫-2x/√(1-4x^2)dx  willst du lösen, das hast du richtig mit partieller Integration erreicht.  das steht in deiner 3.ten Zeile, du integrierst aber aus irgendeinem Grund  jetzt nochmal anscheinend partiell? und kommst auf ein geheimnisvolles A(x)-∫1/√(1-4x^2)dx

wenn du siehst, dass (√(1-4x^2))'=1/2*^/√(1-4x^2)*(-8x) ist kannst du ∫-2x/√(1-4x^2)dx direkt lösen  =1/2*1/√√(1-4x^2)

sonst mit Substitution 4x^2=u , du=8xdx

allgemein ist hilfreich zu wissen: ∫f'(x)/√(1+f(x))=2*√(1+f(x))

genau wie ∫f'/f=ln(f)

Gruß lul

Comments

Habe recht Mühe dies schnell durchzulesen, muss das mal so aufs Papier selber aufschreiben.

Answer 4

Ja man wählt ein u um leichter integrieren zu können. du/dx ist die Ableitung von x² also 2x