Hallo,
normalerweise mit einem Näherungsverfahren. In diesem speziellen Fall kommt man aber über die beiden Graphen und durch geschicktes Probieren zu 'glatten' Lösungen.
~plot~ cos(4*pi*x/3);-0.8*x+1.5;[[-1|4|-2|2]] ~plot~
die beiden Graphen haben drei Schnittpunkte. Und da fällt natürlich sofort die gemeinsame Nullstelle in's Auge. Das führt recht schnell zu $$x_1 = \frac{15}{8}$$Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass dies eine exakte Lösungen ist $$\begin{aligned} \cos\left(\frac{4 \pi \cdot 15}{3 \cdot 8} \right) &=-\frac 45 \cdot \frac {15}8 + \frac 32 \\ \cos\left(\frac{5\pi }{2} \right) &= 0\end{aligned} $$Die anderen beiden Lösungen sind \(x_2= 5/4\) und \(x_3=5/2\)
Rechnerisch könnte man folgendes machen (wenn man schon weiß, wo man hin will!). Substituiere $$x = \frac 18 (u+15)$$Dann ergibt sich$$\begin{aligned} \cos\left( \frac {4\pi}3 x \right) &=-\frac 45 x+ \frac 32 \\ \cos\left( \frac {4\pi}3 \cdot \frac 18 (u+15) \right) &= -\frac 45 \cdot \frac 18 (u+15)+\frac 32 \\ \cos\left( \frac {\pi}6 u + \frac {5\pi }{2} \right) &= -\frac 1{10} u \\ -\sin \left( \frac {\pi}6 u \right) &= - \frac 1{10} u \\ \sin \left( \frac {\pi}6 u \right) &= \frac 1{10} u \\ \end{aligned}$$Die Lösung \(u=0\) steht unmittelbar fest. Und da der Sinus einen möglichst 'einfache' rationale Zahl ergeben sollte, kommt man auch schnell auf \(u=\pm 5\). Wenn man sich den Einheitskreis im Kopf vorstellen kann, sieht man das ;-)
Gruß Werner
