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Aufgabe:

Beweise: Die Summe von 4 beliebigen natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl, so ist ihr Produkt eine gerade Zahl


Problem/Ansatz:

Wie kann ich das ohne vollständige Induktion beweisen?

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3 Antworten

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Beste Antwort

Die zu untersuchenden Fälle sind i) genau drei Zahlen sind ungerade, ii) genau eine Zahl ist ungerade.

i) Seien a = 2k-1, b = 2l-1, c = 2m-1, d = 2n mit k,l,m,n ∈ ℕ bel.

λ := a*b*c*d = (2k-1)*(2l-1)*(2m-1)*(2n) = 2*((2k-1)(2l-1)(2m-1)n) ⇒ 2 | λ.

Analog dazu der zweite Fall.

Avatar von 13 k

Müsste im ersten Fall der letzte Schritt nicht so aussehen, wenn man 2 ausklammert?:

2((k+1)*(m+1)*(n+1)*o)

Steht doch dort auch (bis auf das - statt + und die Veränderung der Variablen), oder nicht?

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Kürzer (ohne Fallunterscheidung): Die Kontraposition lautet "Ist das Produkt von 4 Zahlen ungerade, so ist ihre Summe gerade".

Wenn das Produkt ungerade ist, sind alle 4 Zahlen ungerade, und die Summe von 4 ungeraden Zahlen ist gerade.

Avatar von 55 k 🚀
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Damit das Produkt gerade ist, muss ein Faktor gerade sein.

Es muss also nur die Summe von vier ungeraden Zahlen untersucht werden und die ist gerade. Damit die Summe ungerade ist, muss mindestens eine gerade Zahl dabei sein und dann ist das Produkt gerade.

Avatar von 47 k

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