Beweise: Die Summe von 4 beliebigen natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl, so ist ihr Produkt eine gerade Zahl

Question

Aufgabe:

Beweise: Die Summe von 4 beliebigen natürlichen Zahlen ist eine ungerade Zahl, so ist ihr Produkt eine gerade Zahl

Problem/Ansatz:

Wie kann ich das ohne vollständige Induktion beweisen?

Answer 1

Die zu untersuchenden Fälle sind i) genau drei Zahlen sind ungerade, ii) genau eine Zahl ist ungerade.

i) Seien a = 2k-1, b = 2l-1, c = 2m-1, d = 2n mit k,l,m,n ∈ ℕ bel.

λ := a*b*c*d = (2k-1)*(2l-1)*(2m-1)*(2n) = 2*((2k-1)(2l-1)(2m-1)n) ⇒ 2 | λ.

Analog dazu der zweite Fall.

Comments

Müsste im ersten Fall der letzte Schritt nicht so aussehen, wenn man 2 ausklammert?:

2((k+1)*(m+1)*(n+1)*o)

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Steht doch dort auch (bis auf das - statt + und die Veränderung der Variablen), oder nicht?

Answer 2

Kürzer (ohne Fallunterscheidung): Die Kontraposition lautet "Ist das Produkt von 4 Zahlen ungerade, so ist ihre Summe gerade".

Wenn das Produkt ungerade ist, sind alle 4 Zahlen ungerade, und die Summe von 4 ungeraden Zahlen ist gerade.

Answer 3

Damit das Produkt gerade ist, muss ein Faktor gerade sein.

Es muss also nur die Summe von vier ungeraden Zahlen untersucht werden und die ist gerade. Damit die Summe ungerade ist, muss mindestens eine gerade Zahl dabei sein und dann ist das Produkt gerade.