Fläche von Halbkreisen entspricht Fläche vom rechtwinkligen Dreieck bzw. Quadrat

Question

Aufgabe:

Zeige, dass die schraffierte Fläche denselben Flächeninhalt besitzt wie

a) das rechtwinklige Dreieck

b) das Quadrat

Problem/Ansatz:

In der Musterlösung steht das bei der halben Diagonalen des Quadrats 1/2*a*√2 herauskommt, wobei das bei meiner Rechnung nicht klappt.

Musterlösung:

Aus (* folgt \( \frac{1}{8} \pi \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)-\frac{1}{2} a b \)

Schraffierte Fläche \( =\frac{1}{8} \pi \cdot b^{2}+\frac{1}{8} \pi \cdot a^{2}-\left(\frac{1}{8} \pi \cdot\left(a^{2}+b^{2}\right)-\frac{1}{2} a b\right)=\frac{1}{2} a b \)

Damit ist die schraffierte Fläche gleich groß wie das rechtwinklige Dreieck.

b) Die Seitenlänge des Quadrats sei a. Fläche des Quadrats \( A=a^{2} \).

Schraffierte Fläche \( =4 \) Halbkreise - Fläche großer Kreis + Quadratfläche Der Radius der Halbkreise ist \( r=\frac{a}{2}, \) der Radius des großen Kreises entspricht der halben Diagonale des Quadrats \( r=\frac{1}{2} a \cdot \sqrt{2} \) (aus Formelsammlung oder mit Pythagoras) Schraffierte Fläche \( =4 \cdot \frac{1}{2} \pi \cdot\left(\frac{a}{2}\right)^{2}-\pi \cdot\left(\frac{1}{2} a \cdot \sqrt{2}\right)^{2}+a^{2}=2 \pi \cdot \frac{a^{2}}{4}-\frac{1}{4} \cdot 2 \pi \cdot a^{2}+a^{2}=a^{2} \)

Damit ist die schraffierte Fläche genauso groß wie die des Quadrats.

Answer 1

Betrachte zunächst die gesamte Diagonale = d

Nach Pythagoras gilt:

$$d^2=a^2+a^2\\d^2=2a^2\\ d=a\cdot\sqrt{2}$$

Die Hälfte davon:

$$\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\sqrt{2}$$

Gruß, Silvia

Answer 2

bei der halben Diagonalen des Quadrats 1/2*a*wurzel2 rauskommt  .

Wenn das Quadrat die Seitenlänge a hat, gilt nach Pythagoras

für die Diagonale d :

d^2 = a^2 + a^2

<=> d^2 = 2a^2

<=>  d =  √2  * a

<=>  d / 2 =  √2  * a  / 2 =  1/2*a*wurzel2

Answer 3

Hallo

 es folgt aus dem Pythagoras:

 schraffierte Fläche : (a/2)^2*π/2+(b/2)^2*π/2-(c/2)^2*π/2 +a*b/2

die 2 kleinen Halbkreise minus Kreis über c + Fläche des Dreiecks der erste Teil ist nach ausklammern von π/8 einfach 0.

b) ist dasselbe verdoppelt, wenn du ne diagonale einträgst

Der Pythagoras gilt nicht nur für Quadrate über den Seiten, sondern auch für alle anderen Figuren über den Seiten die ähnlich sind, also hier die Summe der  Flächen Halbkreise über den Katheten =Fläche des Halbkreises über Hypotenuse.

Gruß lul