Permutationen in Sn umsortierten

Question

Aufgabe:

Sei \( \left\{a_{1}, \dots, a_{k}\right\} \subset\{1, \dots, n\} \) mit \( 2 \leq k \leq n \) und \( \left|\left\{a_{1}, \dots, a_{k}\right\}\right|=k . \) Dann ist \( \left(a_{1} \ldots a_{k}\right) \in S_{n} \) eine zyklische Permutation. Geben Sie (ohne Begründung) ein Element \( \varphi \in S_{n} \) an, das $$ \varphi^{-1}\left(a_{1} \ldots a_{k}\right) \varphi=(1 \ldots k) $$ erfüllt.

Eigentlich sind wird gerade beim Thema Nebenklassen, aber ich glaube, dass man das dafür gar nicht benötigt, oder? Ich habe schon alles mögliche ausprobiert, aber komme auf keine Lösung.

Answer 1

Hallo Mel93,

wähle \(\varphi(i):=a_i\) für \(i\le k\).

Für \(i>k\) muss dann \(\varphi(i)\) beliebig so definiert werden, dass eine Permutation entsteht.

Wähle dazu eine beliebige Bijektion \(\psi\colon\{k+1,k+2,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}\setminus\{a_1,\ldots,a_k\}\) (existiert, da beide Mengen (n-k)-elementig sind) und setze \(\varphi(i):=\psi(i)\) für \(i>k\).

Tobias