Vorzeichen der folgenden Permutationen aus S8 resp. Sn

Question

Ich soll die Vorzeichen der folgenden Permutationen bestimmen:

a) \( \left(\begin{array}{llllllll}{1} & {2} & {3} & {4} & {5} & {6} & {7} & {8} \\ {6} & {5} & {3} & {2} & {1} & {4} & {8} & {7}\end{array}\right) \in S_{8} \)

b) \( \left(\begin{array}{cccccc}{1} & {2} & {3} & {\ldots} & {n-1} & {n} \\ {n} & {n-1} & {n-2} & {\ldots} & {2} & {1}\end{array}\right) \in S_{n} \)

Comments

Am einfachsten geht's imho in Zyklenschreibweise. Ist diese bekannt?

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Nein, das sagt mir nichts. Mir ist nur das bekannt, was da oben steht.

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Dann nächste Frage: Wie habt ihr Vorzeichen definiert?

(es gibt mehrer äquivalente Möglichkeiten; allerdings ist die Äquivalenz meist nicht ganz so offensichtlich)

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weiß ich leider nicht, aber kommt am ende nicht das selbe raus, egal wie die definition ist?

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Natürlich kommt am Ende das selbe raus.

Aber wie willst du denn die Rechnung verstehen wenn du die Definition nicht kennst .


Es ist der aller, allererste Arbeitsschritt bei der Bearbeitung von Übungsblättern unbekannte/vergessene Defintionen/Begriffe nachzuschlagen..

Answer 1

Eine der möglichen Definitionen einer geraden bzw. ungeraden Permutation ist (aus Wikipedia):

Eine Permutation kann (...) in Zyklen zerlegt werden und ist genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist.

Damit kann man die Vorzeichen "deiner" Permutationen recht einfach bestimmen. 

 

Die Permutation unter a) hat folgende Zyklen: { 1 2 4 5 6 } , { 3 } , { 7  8 }

Es gibt nur einen Zyklus mit gerader Länge, nämlich den Zyklus { 7 8 }. Die Anzahl der Zyklen gerader Länge ist also ungerade und damit ist auch die Permutation ungerade.

 

Die Permutation unter b) hat folgende Zyklen:

{ 1 , n } , { 2 , n - 1 } , { 3 , n - 2  } , ... , { ( n + 1 ) / 2 } falls n ungerade ist

{ 1 , n } , { 2 , n - 1 } , { 3 , n - 2  } , ... , { ( n / 2 ) , ( n / 2 ) + 1  } falls n gerade ist.

Falls n ungerade ist, existieren genau  ( n - 1 ) / 2 (also eine gerade Anzahl) Zyklen der Länge 2 (also gerader Länge) und 1 Zyklus der Länge 1. Die Permutation ist dann also gerade.

Falls n gerade ist, existieren genau n / 2 (also ebenfalls eine gerade Anzahl) Zyklen der Länge 2 (also gerader Länge) und kein weiterer Zyklus. Die Permutation ist dann also ebenfalls gerade.

Somit ist also die Permutation unter b) unabhängig von n eine gerade Permutation.

Comments

Die Antwort zur b) ist falsch. Die Anzahl der Zyklen ist richtig, die Schlußfolgerung nicht.

n/2 ist gerade genau dann wenn n=0 mod 4 für gerades n

(n-1)/2 ist gerade genau wenn n=1 mod 4 für ungerades n

Insgesamt gilt bei der b): Die Permutation ist gerade wenn n=0,1 mod 4 ansonsten ungerade.


Und noch eine grundsätzliche Frage:

Wozu ist diese Antwort/das Forum eigentlich da?


Die Fragensteller hier ist nach eigener Aussage nicht in der Lage diese Antwort zu verstehen.

Für wen ist also diese Antwort?

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Oops, du hast natürlich recht, da habe ich ein wenig zu schnell und daher zu kurz gedacht.


Zu deiner grundsätzlichen Frage:

Soll man dann also auf eine Frage gar nicht antworten, wenn man befürchten muss, dass der Fragesteller die Antwort nicht versteht?

Das halte ich nicht für adäquat. Ich versuche daher in der Regel, meine Antworten so zu formulieren, dass erkennbare Verständnisschwächen möglichst aus dem Weg geräumt werden. Unter anderem aus diesem Grunde habe ich meiner Antwort eine Definition dessen vorangestellt, worüber ich im Folgenden geschrieben habe.

Unsinnig ist es hingegen sicherlich, ohne jegliche Erläuterungen einfach nur die Anwort hinzuschreiben.

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Das zitieren eines Wikipediaartikels halte ich nicht für eine Erklärung.

Insbesondere erklärt das Zitat nicht was Zyklen sind und wie man eine Zyklenzerlegung erhält.


Die Gefahr, dass der Fragensteller eine Antwort nicht versteht besteht natürlich immer und das sollte kein Grund sein nicht zu antworten., da gebe ich dir Recht.

Mein Eindruck hier ist aber dass der Fragensteller die Antwort definitiv nicht verstehen wird, da wie gesagt Zyklenschreibweise unbekannt ist.


Und ist es denn wirklich zu viel von einem Studenten verlangt eine Definition (und sei es in Wikipedia) nachzuschlagen?


Wahrscheinlich ist mein wirkliches Problem hier, das mMn hier unprofessionelles/unfreundliches  Verhalten mit einer Antwort "belohnt" wird (auch wenn die Erfahrung zeigt, dass der Scharfrichter Klausur da was anderes sagen wird und oder die Antwort auf dem übungszettel nicht akzeptiert wird).

Oder anders ausgedrückt: ist dies eine Seite auf der meine Hilfe sucht um besser zu verstehen/ zu lernen oder eine Seite die einem einfach Lösugen für die Hausaufgaben ausspuckt

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@Anonym: Wenn du nicht der Fragesteller selbst bist, kannst du jederzeit eine 'bessere' Antwort verfassen. Du wirst mit Punkten belohnt von den Fragestellern, wenn deine Antworten weiterhelfen.

Solltest du der Fragesteller selbst sein, ist es sinnvoller, wenn du zu Beginn alles genau hinschreibst, was du gegeben hast. Inkl. alle Definitionen. Dann bekommst du vielleicht eine Antwort, die genau zu dem passt, was bei euch im Kurs vorkommt.

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@Lu: Ich bin der, der gestern den Threadersteller nach der Definition aus der Vorlesung gefragt hat um eine hilfreiche Antort geben zu können. Die Rückmeldung war ernüchternd.

Und was habe ich den von Punkten?

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@Anonym: Vor allem gibt's dann keine Verwechslungen mit Anonymen Fragestellern mehr. Du darfst Antworten natürlich auch Anonym verfassen. Da weiss man dann auch gleich, dass du nicht der Fragesteller bist.

Leute, die sich versuchen ohne Kurs auf irgendwas (Fachhochschulreife,…)  vorzubereiten ist mit der Antwort von JotEs an besten geholfen. Gerade Links zu Definition sind äusserst hilfreich.

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@lu: Wann gibt's keine Verwechslungen mehr? Wenn man Punkte hat?

Und dem letzten widerspreche ich. Das auf das man sich vorbereitet verwendet irgendwelche Definitionen. Falls das keine Zyklenschreibweise verwendet ist die Antwort nicht sonderlich verständnisfördernd und hilft bei dem was dann auch nicht weiter.

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Also ich habe dazu auch nochmal eine frage... ich versteh den letzten schritt bei a nicht .. was versteht man genau unter gerade länge und ungerade länge der zyklen... also es wird ja gesagt, dass nur (7,8) ein zyklus mit gerader länge ist, die anzahl aber ungerade und somit auch die permutation?

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Als Länge eines Zyklus bezeichnet man die Anzahl seiner Elemente. Der Zyklus { 7 8 } hat 2 Elemente und daher die Länge 2 (also eine gerade Zahl), während der Zyklus { 1 2 4 5 6 } die Länge 5 hat (also eine ungerade Zahl).

Nachdem man eine Permutation in ihre Zyklen zerlegt hat, zählt man alle Zyklen, deren Länge gerade ist. Ergibt sich eine gerade Anzahl solcher Zyklen, dann ist die Permutation gerade, andernfalls ungerade. Im Beispiel a) ergibt sich eine ungerade Anzahl von Zyklen mit gerader Länge, nämlich die Anzahl Eins (nur der Zyklus { 7 8 } hat eine gerade Länge).  Die Permutation ist daher ungerade.

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@JotEs bist klasse, danke dir sehr. Hatte mir dazu mehrere bespiele angeguckt, aber immer war etwas anders. Das hat mich so durcheinander gebracht. Dankeschön für deine Mühe