Matrizen - Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse

Question

Aufgabe:  Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse

(1) Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach höchstens 12 Glücksraddrehungen.

(2) Ab dem Spielbeginn endet ein Spiel nach genau 12 Glückraddrehungen.

Übergangsmatrix:

z0

z1

z2

z3

z4

0	0,25	0	0	0
1	0	0,5	0	0
0	0,75	0	0,75	0
0	0	0,5	0	0
0	0	0	0,25	1

Startvektor:

1

0

0

0

0

Problem/Ansatz: Hi. mein Ansatz wäre Übergangsmatrix¹²×Startvektor ≈ 41,68%

Jedoch weiß ich nicht ob dieses Ergebnis auf (1) oder (2) zutrifft.

Comments

Ich verstehe die Aufgabenstellung nicht genau, du hast zu viel weggelassen :(

Answer 1

Ich benenne mal die Übergangsmatrix mit U. Der Startvektor ist der erste Einheitsvektor e₁, also ergibt die Rechnung Uⁿ*e₁ die erste Spalte der Matrix Uⁿ. Die Zahlen in dieser Spalte sind die Wahrscheinlickeiten, nach n-maliger Durchführung des Prozesses (also hier n mal Drehen des Glücksrades) die Zustände Z0 bis Z4 anzunehmen. Dabei ist Z4 der "Endzustand" (der einzige absorbierende Zustand). In den Wahrscheinlichkeiten sind alle Möglichkeiten inbegriffen, diese Zustände zu erreichen. Auch die Möglichkeit, dass man schon nach (n-1) Drehungen diesen Zustand erreicht hat. Die Zahl 0,4168395996... in der letzten Zeile der ersten Spalte von U¹² besagt also, dass mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 41,68% nach 12 Drehungen der Zustand Z4 erreicht ist. Oder eben, dass das Spiel nach höchstens 12 Drehungen beendet ist. Um (2) zu beantworten, musst du dir die erste Spalte von U¹¹ anschauen. Die Zahl in der letzten Zeile steht für die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel nach höchstens 11 Zügen beendet ist, also musst du sie nur noch subtrahieren.