Reihenwerte von Potenzreihen: a) ∑(n+1)∗(n+2)∗x^n

Question

ich muss die Konvergenz und Reihenwerte folgender Potenzreihen bestimmen und ich komme einfach nicht weiter.
a) ∑(n+1)∗(n+2)∗x^n

die summe geht von n= 0 bis unendlich
für die konvergenz habe ich das Wurzelkrit benutzt und habe herausbekommen, dass die Reihe für x=0 konvergiert mit dem Reihenwert 0

jetzt weiss ich aber überhaupt nicht mehr wie ich die Reichenwerte für x≠0ausrechnen kann

b)∑2n∗(−4/9)n∗x^{2n−1}

ich habe da mit dem Quotientenkit die den Konvergenzradius ausgerechnet und kam auf r = 8/9
daraus kann ich folgern dass für x < 8/9 die reihe konvergiert oder?

dann hab ich versucht den Reihenwert zu berechnen

da weiss ich jetzt auch nicht mehr wie ich des weiter vereinfachen kann damit ich den Reihenwert bekomme

c)∑x^{2n+1}/(2n+1)!

hier habe ich ebenfalls wiedermit dem Wurzelkrit den Konvergenzradius ausgerechnet und herausbekommen dass r=∞ ist

leider schaffe ich es wieder nicht den reihenwert auszurechnen

Schon einmal Vielen Dank für die Unterstüzung

Comments

Meinst du mit Reihenwert den Konvergenzradius der Reihe?

---

Wir haben die Aufgabe bekommen:

bestimmen sie für folgene Potenzreihen alle x elemt R für welche die Reihen konvergieren und berechnen Sie in Abhängigkeit von x den Reihenwert.

---

Das wäre ja Potenzreichenentwicklung rückwärts. Vielleicht findest du die ja bei den bekannten Beispielen hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe#Beispiele

---

Das hat mir irgendiwe nicht so geholfen.. ich erkenn nicht in was ich es umwandeln kann


liebe grüsse

---

Ich sehe c) hier als Reihe von sinh(x)

https://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_Hyperbolicus_und_Kosinus_Hyperbolicus#Reihenentwicklungen

---

ixh habe jetzt die c und die a herausbekommen


aber die b nicht.

kann mir jemand helfen den reihenwert zu bestimmen?

ich habe nichts gefunen was dazu passen könnte

Answer 1

bekanntlich existiert für \(|x|<1\) die geometrische Reihe:$$\sum_{n=0}^\infty x^n=\frac1{1-x}.$$Zweimaliges Ableiten liefert$$\sum_{n=2}^\infty (n-1)\cdot n\cdot x^{n-2}=\frac2{(1-x)^3}.$$Nun noch umnummerieren:$$\sum_{n=0}^\infty (n+1)\cdot(n+2)\cdot x^{n}=\frac2{(1-x)^3}.$$

Comments

Ist b) so korrekt dargestellt oder soll es möglicherweise ∑2n∗(−4/9)ⁿ∗x²ⁿ⁻¹ heißen?