Potenzreihen in rationale Funktion umschreiben: Bsp: ∑^{∞} unten n=0 n^2*z^n

Question

Wie schreibt man eine Potenzreihe als eine rationale Funktion?

Als Bsp:

∑ oben ∞, unten n=0  n^2*z^n

und dies auch anderes herum?

Bsp: 1/(1+2x)

Danke für die Hilfe

Answer 1

Grober Ansatz: \( f(z)=\sum_{n=0}^\infty z^n = \frac{1}{1-z}\). Die Ableitungen der Funktion kann man jeweils durch Ableiten der Potenzreihe oder der ganzrationalen Darstelllung bestimmen. Durch Vergleich der Potenzreihen ergibt sich: \( \sum_{n=0}^\infty n^2 z^n = f''-3\cdot f'+f \)