Konvergenzradius der Potenzreihe (Mittelpunkt 0) der rationalen Funktion h(z):= (z+1)/((z+2)(z+4))

Question

Aufgabe:

Man entwickle die rationale Funktion

\( h(z):=\frac{z+1}{(z+2)(z+4)} \)

in einer Potenzreihe mit dem Mittelpunkt 0 und bestimme deren Konvergenzradius.

Answer 1

führe eine Partialbruchzerlegung von h(z)  durch und wende zwei mal die Summe für die geometrische Reihe an. Man erhält für |z| < 2

$$ h(z)=\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{1+\frac{z}{4}}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{1+\frac{z}{2}} \\ =\frac{3}{8} \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \cdot\left(\frac{z}{4}\right)^{k}-\frac{1}{4} \sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \cdot\left(\frac{z}{2}\right)^{k} \\ =\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \cdot\left(\frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4^{k}}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2^{k}}\right) \cdot z^{k} \\ =\sum \limits_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} \cdot \frac{3-2^{k+1}}{8 \cdot 4^{k}} \cdot z^{k} $$

Comments

@Anonym: "Man erhält  für  |z| < 2 "

Ist der Konvergenzradius automatisch der kleinste Abstand vom Mittelpunkt zu einem Pol?

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Setzt man  z = -2  erhält man formal die sicher nicht konvergente Reihe  ∑^∞_k=0 (3/2^k - 2)/8.