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Aufgabe:

Sei V der reelle Vektorraum der 2x2-Matrizen, A∈V.

Sei f : V → V mit f(X) = A·X für alle X ∈ V.

A=\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \)

Gebe die Darstellungsmatrix von f bzgl. einer Basis von V deiner Wahl an.


Problem/Ansatz:

Um die Basis zu berechnen, würde ich für X die 2x2 Einheitsmatrix als Basis nehmen, dann kommt aber gerade A als Darstellungsmatrix raus, oder habe ich was falsch verstanden?

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Ja, das hast du scheinbar immer noch nicht verstanden. Das ist eine Matrizenabbildung. Wie das geht, hast du bereits einmal gefragt.

https://www.mathelounge.de/692510/wie-sieht-die-darstellungsmatrix-bei-matrizen-als-zielmenge

Schau da erstmal nochmal nach.

Sorry danke für den Hinweis.

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Aloha :)

Ich schlage vor, die Standardbasis \(S\) der 2x2-Matrizen zu verwenden:$$S=\left(\,\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)\,,\,\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)\,\right)$$Dafür ermitteln wir nun die Darstellngsmatrix:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\2 & 0\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 2\end{array}\right)=1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 & 0\\1 & 0\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\1 & 0\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{c}1 & 2\\2 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0 & 2\\0 & 1\end{array}\right)=2\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 1\\0 & 0\end{array}\right)+1\cdot\left(\begin{array}{c}0 & 0\\0 & 1\end{array}\right)$$Damit lautet die Abbildungsmatrix bzgl. der Standardbasis \(S\):$$M(f)_S=\left(\begin{array}{c} 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 1\end{array}\right)$$

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