Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen mit dem Euklidischen Algorithmus

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mit dem Euklidischen Algorithmus den größten gemeinsamen Teiler der Polynome
F=X³−3X² +5X−3 und G=X³-1 ∈IR[X].

Problem/Ansatz:

Wir haben uns am Euklidischen Algorithmus versucht, jedoch sind wir nicht voran gekommen.

Answer 1

Hallo Maluma,

Die erste Division ist einfach. Der Rest ist \(-3x^2+5x - 2\). Die zweite ist schon aufwendiger - man hat Möglichkeiten, sich zu verrechnen ;-). Also ganz ausführlich:

Latex: \begin{alignat*}{1} (x^3 &&&-1) \,\div\, (-3x^2 + 5x - 2) = -\frac 13 x - \frac 59 \\ x^3 &-\frac 53 x^2 &+ \frac 23 x \\ \hline &+ \frac 53 x^2 & - \frac 23 x &-1 \\ & +\frac 53 x^2 & - \frac{25}9 x &+ \frac{10}9 \\ \hline && + \frac{19}9 x &- \frac{19}9\end{alignat*}

Somit ist der Rest - und nur auf den kommt es beim euklidischen Algorithmus an - gleich \(19/9(x-1)\). Und im nächsten Schritt teilt man nur durch \((x-1)\). Den Faktor kann man später dazu hängen:

Latex: \begin{alignat*}{1} (-3x^2&+5x &- 2) \,\div \, (x-1) = -3x + 2\\ -3x^2 &+ 3x\\ \hline & +2x &-2 \\ &+2x & -2\\ \hline && 0\end{alignat*}

und es geht ohne Rest auf. Der größte gemeinsame Teiler ist also \(x-1\). Hier noch mal die vollständige Tabelle

$$\begin{array}{ccc} F & G& F \div G \\ \hline x^{3}−3x^{2 }+5x−3& x^{3}-1& 1 \\ x^{3}-1& -3x^2+5x - 2 & -\frac 13x - \frac 59\\ -3x^2+5x - 2& \frac{19}9(x - 1)&  \frac{9}{19}(-3x + 2) \\ \frac{19}9(x - 1)& 0 \end{array}$$

Gruß Werner

Comments

Ahh danke, habe das schon mal ähnlich versucht aber das hat irgendwie nicht geklappt aber das versteh ich.

Answer 2

Hallo

 es geht genau wie mit Zahlen nur eben mit Polynomdivision

Anfang :

(x^3-1):(X^3−3X^2 +5X−3 )=1 Rest -3x^2+5x-2

jetzt  (X^3−3X^2 +5X−3 ):(-3x^2+5x-2) usw

Gruß lul