Analysis Textaufgabe, e-Funktion.

Question

Aufgabe:

Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum.

Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von 0,3 m. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion f mit der Gleichung

f(t)= 0,3 + 35(1-e^-0,02*t)²= 0,3+35*(1-2*e^-0,02*t + e^-0,04*t), t≥0.

Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, f(t) als Maßzahl zur Einheit 1 Meter aufgefasst.

Der Zeitpunkt der Pflanzung der kleinen Buche wird durch t=0 festgelegt.

Der Graph von f ist in der Abbildung 1 dargestellt.

b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t, zu dem die Buche am stärksten wächst.

Zur Kontrolle: f'(t)= 1,4*(e^-0,02t - e^-0,04t),  f''(t)= 0,028*(2*e^-0,04t - e^-0,02t)

Frage: Wie rechne ich das aus??Danke euch schon einmal im Voraus.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Analysis Textaufgabe. Eine Buche ist ein in weiten.....

Stichworte: e-funktion,analysis

Hallo,

Aufgabe:

Die Buche ist ein in weiten Teilen Europas heimischer Laubbaum.

Eine frisch eingepflanzte kleine Buche hat eine Höhe von 0,3 m. Ein Biologe modelliert das Höhenwachstum dieser Buche aufgrund von Messungen in den ersten Jahren nach dem Pflanzen durch die Funktion f mit der Gleichung

f(t)= 0,3 + 35(1-e^-0,02*t)²= 0,3+35*(1-2*e^-0,02*t + e^-0,04*t), t≥0.

Dabei wird t als Maßzahl zur Einheit 1 Jahr, f(t) als Maßzahl zur Einheit 1 Meter aufgefasst.

Der Zeitpunkt der Pflanzung der kleinen Buche wird durch t=0 festgelegt.

Der Graph von f ist in der Abbildung 1 dargestellt.

b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t, zu dem die Buche am stärksten wächst.

Zur Kontrolle: f'(t)= 1,4*(e^-0,02t - e^-0,04t),  f''(t)= 0,028*(2*e^-0,04t - e^-0,02t)

Frage: Wie rechne ich das aus??Danke euch schon einmal im Voraus.

Answer 1

Das was du hier machen sollst, ist Kurvendisskusion, im Kontext zu einem Sachverhalt. Nun zu deiner Frage: Bilde die ersten drei Ableitungen. Du suchst mithilfe der zweiten Ableitung eine Wendestelle. Mit der dritten prüfst du, ob es eine gibt, bzw. ob überhaupt eine vorliegen kann. Soweit zum Vorgehen.

Answer 2

b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunkt t, zu dem die Buche am stärksten wächst.

Kannst du in der Skizze erkennen, das die Buche wohl im Wendepunkt, das stärkste Wachstumsgeschwindigkeit besitzt? Also setze die zweite Ableitung gleich Null.

f(t) = 0.3 + 35·(1 - e^(- 0.02·t))^2 = - 70·e^(- 0.02·t) + 35·e^(- 0.04·t) + 35.3

f'(t) = 1.4·e^(- 0.02·t) - 1.4·e^(- 0.04·t)

f''(t) = 0.056·e^(- 0.04·t) - 0.028·e^(- 0.02·t) = e^(- 0.02·t)·(0.056·e^(- 0.02·t) - 0.028) = 0

0.056·e^(- 0.02·t) - 0.028 = 0 --> t = 50·LN(2) = 34.66 Jahre

Skizze

~plot~ 0.3+35(1-exp(-0.02x))^2;x=34.66;[[0|200|0|40]] ~plot~