Wert von ln(1.1) mit Taylorreihe

Question

Bestimmen Sie den Wert ln(1.1) mit einer Genauigkeit von mindestens
10^-4.

Bitte erklären sie ausführlich, weil ich die ganze Taylorreihe konzept nicht gut verstehe.

Danke

Answer 1

Aloha :)

Die Formel für die Taylorreihe lautet:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k$$Entwickle \(f(x)=\ln(x)\) in eine Taylorreihe um den Entwicklungspunkt \(x_0=1\):$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k$$Wir sollen \(\ln(1,1)\) mit einer Genauigkeit von 4 Dezimalstellen bestimmen. Unsere Klammer \((x-1)^k\) wird dann \((0,1)^k\). Für 4 Nachkommastellen müssen wir die Taylorreihe also bis \(k=4\) annähern. Dazu bestimmen wir die nötigen Ableitungen \(f^{(k)}(1)\):

$$f^{(0)}(x)=f(x)=\ln(x)\;\;\Rightarrow\;\;f^{(0)}(1)=0$$$$f^{(1)}(x)=f'(x)=\frac{1}{x}\;\;\Rightarrow\;\;f^{(1)}(1)=1$$$$f^{(2)}(x)=f''(x)=-\frac{1}{x^2}\;\;\Rightarrow\;\;f^{(2)}(1)=-1$$$$f^{(3)}(x)=f'''(x)=\frac{2}{x^3}\;\;\Rightarrow\;\;f^{(3)}(1)=2$$$$f^{(4)}(x)=f''''(x)=-\frac{6}{x^4}\;\;\Rightarrow\;\;f^{(4)}(1)=-6$$Wir setzen diese Ableitungen nun in die Taylorformel ein:

$$\ln(x)\approx\frac{f^{(0)}(1)}{0!}(x-1)^0+\frac{f^{(1)}(1)}{1!}(x-1)^1+\frac{f^{(2)}(1)}{2!}(x-1)^2$$$$\phantom{\ln(x)}+\frac{f^{(3)}(1)}{3!}(x-1)^3+\frac{f^{(4)}(1)}{4!}(x-1)^4$$$$\phantom{\ln(x)}=\frac{0}{1}\cdot1+\frac{1}{1}(x-1)^1+\frac{-1}{2}(x-1)^2+\frac{2}{6}(x-1)^3+\frac{-6}{24}(x-1)^4$$$$\phantom{\ln(x)}=(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4$$Nun können wir \(x=1,1\) einsetzen:

$$\ln(1,1)\approx(0,1)-\frac{1}{2}(0,1)^2+\frac{1}{3}(0,1)^3-\frac{1}{4}(0,1)^4=0,0953$$

Comments

 K oder k!   ?

Warum habe ich so?

\( f^{(k)}(x)=(-1)^{k-1}(k-1) ! x^{-k}, x_{0}=1 \)
\( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}(k-1) !}{k !}(x-1)^{k} \)

\( f(x)=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k }(x-1)^{k} \)

@Tschakabumba

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Schau dir mal unser Ergebnis von oben mal genauer an:

$$\ln(x)\approx(x-1)-\frac{1}{2}(x-1)^2+\frac{1}{3}(x-1)^3-\frac{1}{4}(x-1)^4$$$$\phantom{\ln(x)}=\frac{(-1)^0}{1}(x-1)+\frac{(-1)^1}{2}(x-1)^2$$$$\phantom{\ln(x)}+\frac{(-1)^2}{3}(x-1)^3+\frac{(-1)^3}{4}(x-1)^4$$$$\phantom{\ln(x)}=\frac{(-1)^{1-1}}{1}(x-1)+\frac{(-1)^{2-1}}{2}(x-1)^2$$$$\phantom{\ln(x)}+\frac{(-1)^{3-1}}{3}(x-1)^3+\frac{(-1)^{4-1}}{4}(x-1)^4$$$$\phantom{\ln(x)}=\sum\limits_{k=1}^4\frac{(-1)^{k-1}}{k}(x-1)^k$$

Die allgemeine Taylor-Formel für eine Funktion \(f(x)\) hat \(k!\) im Nenner:$$f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot(x-x_0)^k$$Wenn du diese Formel speziell für \(f(x)=\ln(x)\) anwendest, erhältst du eine ganz ähnliche Formel, aber mit wechselnden Vorzeichen und ohne Fakultät im Nenner. Die Ableitungen sind auch verschwunden, weil sie in die allgemeine Taylor-Formel von oben eingesetzt wurden:$$\ln(x)=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}\cdot(x-1)^k$$