Zeigen, dass an = 1/n eine Nullfolge ist.

Question

wir haben die Nullfolge so definiert:

$$\forall \epsilon > 0 \exists N \in \mathbb{N} \forall n \ge N: |a_n| < \epsilon$$

Jetzt wurde als Beispiel $$a_n = \frac{1}{n} \to 0$$ angeschrieben mit folgendem Beweis:

$$|\frac{1}{n}| < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{n} < \epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\epsilon}$$

Also wird

$$N := \left \lceil \frac{1}{\epsilon}  \right \rceil$$ definiert.

Aber ist das nicht falsch?

Denn wenn z.B. $$\epsilon = 1 \Rightarrow N = \left \lceil \frac{1}{1} \right \rceil = 1 \Rightarrow a_N = \frac{1}{1} = 1 = \epsilon$$, a_N sollte doch aber kleiner als Epsilon sein, oder nicht?

Also muss man $$N := \left \lceil \frac{1}{\epsilon}  \right \rceil + 1$$ definieren, damit es stimmt?

 

Danke,

Thilo

Comments

mE muss das so sein, wie du schreibst.

Diese Aufrundung(?) müsste auch den jeweiligen 'Boden' betreffen.

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Ja, es ist die Aufrundungsfunktion gemeint, die definiert ist als $$\left \lceil x \right \rceil := min \{k \in \mathbb{Z} | k \ge x \}$$. Vielleicht hatte unserer Professor die Definition $$\left \lceil x \right \rceil := min \{k \in \mathbb{Z} | k > x \}$$ im Kopf, aber auf Wikipedia steht Ersteres als Definition dafür.

Was meinst du mit "Boden"? Wir hatten heute die ersten beiden Vorlesungen zu Folgen und Konvergenz, deswegen bin ich da noch nicht so fit drin ;)

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'Boden' wäre genau das x, wenn x in Z ist. ist aber kein Fachbegriff.

Also die Definition, die du vermutest. Die würde da ja 1 addieren, wie du das willst.

WolframAlpha definiert das zumindest für natürliche Zahlen auch so, wie du es in der Wikipedia gefunden hast. https://www.wolframalpha.com/input/?i=⌈x⌉

Answer 1

mE muss das so sein, wie du schreibst.

Diese Aufrundung(?) müsste auch den jeweiligen 'Boden' betreffen. Und bei natürlichen Zahlen eins addieren.

Vielleicht hatte unserer Professor die Definition⌈x⌉:=min{k∈Z|k>x}

$$\left \lceil x \right \rceil := min \{k \in \mathbb{Z} | k > x \}$$

im Kopf, aber auf Wikipedia steht Ersteres als Definition dafür.

Also die 'falsche/andere' Definition, die du vermutest,  würde da ja 1 addieren, wie du das willst und wie es richtig wäre.

WolframAlpha definiert das zumindest für natürliche Zahlen auch so, wie du es in der Wikipedia gefunden hast. https://www.wolframalpha.com/input/?i=⌈x⌉