Aufgabe:
Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) monoton und sei \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Beweisen Sie, dass ein \( c \in[a, b] \) existiert mit
$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(a) \int \limits_{a}^{c} g(x) \mathrm{d} x+f(b) \int \limits_{c}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$
Hinweis: Betrachten Sie die rechte Seite als Funktion in \( c \) und verwenden Sie den Zwischenwertsatz.