Integral Beweis - Zwischenwertsatz

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) monoton und sei \( g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} \) stetig. Beweisen Sie, dass ein \( c \in[a, b] \) existiert mit

$$ \int \limits_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=f(a) \int \limits_{a}^{c} g(x) \mathrm{d} x+f(b) \int \limits_{c}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$
Hinweis: Betrachten Sie die rechte Seite als Funktion in \( c \) und verwenden Sie den Zwischenwertsatz.

Answer 1

Hallo,

schreibe als Hilfsfunktion:$$h(x)=f(a)\int_a^xg(x)dx+f(b)\int_x^bg(x)dx-\int_a^bf(x)g(x) \, dx$$ Es gilt \(h(a)\geq 0 \) und \(h(b)\leq 0\), da:$$h(a)=\int_a^b(f(b)-f(x))g(x)\geq 0$$, weil \(f(b)\geq f(x)\) und \(g(x)\geq 0\) und$$h(b)=\int_a^b(f(a)-f(x))g(x)\leq 0$$, also exisitiert ein \(c\), so dass \(h(c)=0\) und damit \(f(a)\int_a^cg(x)d(x)+f(b)\int_c^bg(x)dx=\int_a^bf(x)g(x)dx\) für ein \(c\in [a,b]\).

Comments

Für beliebiges \(c\) ?

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c in [a,b] *

Danke für den Hinweis

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Die Aussage ist doch, dass ein solches c existiert. Beliebig ist c wohl eher nicht.

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Hallo,

Ich kann der Aufgabenstellung nicht entnehmen, dass g nichtnegativ ist?

Gruß

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Super danke für die schnelle Antwort.

Eine grage hab ich noch: Warum muss eigentlich g(x)≥0 gelten, bzw. warum muss ich das Annhemen?

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Hallo,

racine hat es jedenfalls benutzt, um zum Beispiel für h(a) zu zeigen, dass der Integrand nichtnegativ ist. Dieser setzt sich aus zwei Faktoren zusammen, die beide positiv (oder beide negativ) sein müssen.