Aufgabe:
Es sei ein Vektorfeld
$$ \dot{D_{\vec{F}}} \ni\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto \vec{F}(x, y, z)=\left(\begin{array}{l} F_{1}(x, y, z) \\ F_{2}(x, y, z) \\ F_{3}(x, y, z) \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \quad \text { mit } D_{\vec{F}} \subset \mathbb{R}^{3} \text { offen } $$
gegeben. Hierbei bezeichnen die Funktionen \( F_{k}: D_{F} \rightarrow \mathbb{R}, k \in\{1,2,3\}, \) die Koordinatenfunktionen des Vektorfeldes \( \vec{F} \). Zu diesem Vektorfeld \( \vec{F} \) kann man nun das zugehörige Rotationsvektorfeld \( \vec{R}_{F} \)
- definieren. Es ist durch
$$ D_{F} \ni\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto \vec{R}_{F}(x, y, z)=\left(\begin{array}{l} \frac{\partial F_{3}}{\partial y}(x, y, z)-\frac{\partial F_{2}}{\partial z}(x, y, z) \\ \frac{\partial f_{1}}{\partial f_{2}}(x, y, z)-\frac{\partial F_{3}}{\partial x}(x, y, z) \\ \frac{\partial f}{\partial x}(x, y, z)-\frac{\partial y_{1}}{\partial y}(x, y, z) \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} $$
gegeben. Berechnen Sie das Rotationsvektorfeld \( \vec{R}_{\vec{F}} \) zum Vektorfeld
\( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
$$ \left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{l} y z \\ x z \\ x y \end{array}\right) $$
Problem/Ansatz:
Auch hier fehlt mir mal wieder der Lösungsansatz, ich weiß nicht, was genau ich in das Rotationsfeld einsetzen muss und an welcher Stelle. Kann mir eventuell jemand die Aufgabe lösen, damit ich in Zukunft weiß wie ich solche Aufgaben angehe?
