Sieh dir dazu am besten die Def. des Grenzwertes für x gegen ±∞ nochmal an.
Nehmen wir mal zur Vereinfachung nur den Fall +≈.
Da heißt es dann wohl bei euch (wenn a der Grenzwert ist)
Zu jedem ε>0 gibt es ein x_quer, so dass für alle x>x_quer gilt
| f(x) - a | < ε .
Und wenn du hier bei dieser konkreten Aufgabe die Gültigkeit der
Def zeigen willst ( also für f(x)=(x+5)/(3x-3) und a= 1/3 , musst
du schauen, welche Bedingung an das x zu stellen ist, damit
| f(x) - a | < ε . gilt.
Dazu hat der Autor sich wohl überlegt: Wir schauen mal erst, wann
in dieser Ungleichung das "=" gilt, denn das ist dann ja wohl die
Stelle von der an die Ungleichung für alle x gelten könnte, also
das ist das gesuchte x_quer.
Die ersten Umformungen zeigen: Dies bedeutet nur
| 2 / (x_quer - 1 ) | = ε noch besser hieße es wohl
2 / |x_quer - 1 | = ε denn der Betrag eines Bruches ist
ja der Bruch aus den Beträgen.
Jetzt hat man sich überlegt: |x_quer - 1 | hängt ja davon ab, ob
x_quer größer oder kleiner als 1 ist. Für x>1 hat man also
2 / (x_quer - 1) = ε
<=> x_quer = 1 + 2/ ε und für alle x > x_quer gilt dann
| f(x) - a | < ε. #
Und in dem letzten Kasten wird nochmal nachgerechnet, dass für
x>1 und x_quer = 1 + 2/ ε # auch wirklich erfüllt ist.
Damit ist gezeigt: Für gegen +∞ ist tatsächlich 1/3 der Grenzwert.
Die entsprechende Überlegung für x gegen -∞ wird in dieser Darstellung
immer gleich parallel mit behandelt. Da muss man zeigen:
Zu jedem ε>0 gibt es ein x_quer, so dass für alle x<x_quer gilt
| f(x) - a | < ε .
Und hier ist das x_quer eben der zusätzlichen Forderung x<-1 unterworfen.
